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Dada una circunferencia se consideran los extremos A y B de uno de sus diámetros y dos puntos variables C y D simétricos con respecto a dicho diámetro. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de la recta r (B, C) con la recta r (A, D).
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En este applet al mover el control C sobre la circunferencia el punto P describe una hipérbola |
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Para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido en el problema anterior y obtenido gráficamente con este applet debemos realizar los pasos que se indican a continuación:
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Situar adecuadamente un sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, tomar como origen el centro de la circunferencia y eje OX el diámetro AB. |
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Si el radio de la circunferencia es R, ¿qué coordenadas tienen los punto A y B? |
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Dar las coordenadas de los puntos C y D de la circunferencia en coordenadas polares. |
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Determinar las ecuaciones de las rectas r (A, D) y r (B, C). |
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Obtener la ecuación del lugar geométrico del punto P. |
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Solución completa del ejercicio en el formato Word2000 comprimido (59,3 KB) |
Sea B un punto de una circunferencia y A un punto exterior a ella. Sea P el punto de intersección de la mediatriz del segmento AB con el radio OB. Hallar el lugar geométrico que describe el punto P cuando B recorre la circunferencia.
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Cuando el control B recorre la circunferencia el punto P describe una hipérbola. |
Para poder obtener la ecuación del lugar geométrico pedido debemos resolver previamente las dos observaciones siguientes:
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Como el punto P pertenece a la mediatriz del segmento AB, ¿qué relación existe entre las longitudes de los segmentos AP y BP? |
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Determinar el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los segmentos OP y AP. |
Atendiendo a las recomendaciones anteriores, para obtener la ecuación del lugar geométrico pedido en el problema anterior debemos realizar los pasos que se indican a continuación:
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Situar un sistema de coordenadas con origen el centro de la circunferencia y eje en la dirección del segmento OA. |
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Determinar la longitud del semieje mayor y la semidistancia focal. |
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Determinar la ecuación del lugar geométrico |
Este problema se basa en el concepto de circunferencia focal de una hipérbola. Para cada punto P de la hipérbola tomemos sobre la semirrecta que contiene al radio vector PF (PF¢) un punto Q tal que la longitud del segmento PQ sea igual a la del radio vector PF¢ (PF). Puesto que el valor absoluto de la diferencia de las longitudes de los radios vectores PF y PF¢ es constante e igual a 2a, | PF – PQ | = | PF – PF¢ | = 2a, el lugar geométrico de los puntos Q obtenidos al variar el punto P sobre la hipérbola es una circunferencia de radio 2a y centro F, que se llama circunferencia focal. Existe una para cada foco. El segmento PQ = PF¢ (PQ = PF) es la distancia del punto P a la circunferencia focal. Como consecuencia de esto podemos dar como definición de hipérbola la siguiente.
Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una circunferencia y de un punto exterior.
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Observando que la circunferencia de centro P y radio PF¢ es tangente a la circunferencia focal F resulta también:
Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de los centros de la circunferencia tangentes a una fija y que pasan por un punto exterior.
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Autor: Antonio Berhó Rodríguez
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Alumno |
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |
| Alumno |
