que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 6 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Regiones

Paso 3: Asíntotas

Paso 4: Algunos puntos

Paso 5: Monotonía

Paso 6: Trazado de la curva

Observar cómo los pasos que vamos dando se acomodan a las necesidades que vamos teniendo de poder dibujar su gráfica. Conviene situarse en cada nivel de información y ver las posibilidades que puede tener la forma gráfica; en este momento decidimos que herramienta de análisis es la apropiada para aceptar o rechazar posibilidades. Así, en el ejemplo analizado, hemos llegado a un nivel de información en el que se ha hecho necesario conocer algunos puntos de la grafica para comprobar la situación respecto de las asíntotas y todavía ha surgido la necesidad de comprobar si la gráfica cortaba o no a la asíntota oblicua.

Analizar y representar la gráfica de la función irracional

1. Dominio: No está definida para x²-1<0 « x² < 1 « -1< x < 1. Luego, D_f=R-(-1,1).

2. Cortes con los ejes coordenados:

   Corte con OX: y=0.  No es posible.

   Corte con OY: x=0. No es posible.

3. Regiones: Es fácil comprobar que para x ³ 1: f(x) >0 y para x£ -1: f(x)<0.

4. Asíntotas:

   - Horizontales:

   

   

   Luego, y=0 es una asíntota horizontal por la derecha. Como,

   

   no hay asíntota horizontal por la izquierda.

   - Oblicuas: Probemos si hay asíntota oblicua y = mx+n por la izquierda.

   

   

   

   

   Luego y=2x, es una asíntota oblicua por la izquierda.

5. Información de la derivada primera:

   

   Es fácil observar que no se puede anular, por tanto no tiene puntos singulares.

   Para x>1, f'(x) <0: f(x) es función decreciente

   Para x<-1, f'(x)>0: f(x) es función creciente

6. Información de la derivada segunda:

   

   Es positiva para todo el dominio: f(x) es función convexa.

7. Información complementaria:

   Con toda la información que ya tenemos puede quedar cierta duda de por donde puede pasar la curva. La siguiente puede darnos la luz necesaria:

   - Algunos puntos: x=-1 -> y=-1; x=1-> y=1

   - ¿Atraviesa la asíntota y=2x?: Imposible ya que la ecuación f(x)=2x es incompatible.

Analizar y representar las  funciones irracionales,

El programa siguiente permitirá al estudiante verificar si los resultados de su análisis se corresponden con la información que se visualizan en la escena.

Las ventanas y=f(x), y=a1(x), y=a2(x), y=a3(x), y=a4(x) son funciones editables que el/la estudiante puede reemplazar por las expresiones de Descartes correspondientes de las que tenga interés en ver su representación.

1: Función .

a) Dominio: No está definida en el intervalo (-2,0) donde el radicando es negativo

b) Cortes con los ejes: Puntos (0,0) y (-2,0)

c) Regiones: f(x)>0 en (-inf,-2)U(0,+inf)

d) Asíntotas oblicuas: y=x+1, y=-x-1.

 Comprobar que no cortan a la curva y que ésta se aproxima por debajo.

e) Información de la derivada primera:

No está definida en [-2,0]. Su signo es el que corresponde a x+1 en el dominio R-[-2,0], luego f'(x) >0, en [0,+inf) y f'(x)<0 en (-inf,-2). Resumiendo:

f(x) es decreciente en (-inf,-2)

f(x) es creciente en   [0,+inf)

No hay singularidades.

Puede observarse que en x=0 y x=-2 la tangente a la curva es vertical (pendiente infinita) tomando límites laterales de f'(x)

f) Datos complementarios:

Es relativamente fácil comprobar que la función f'(x) es decreciente, por lo que f(x) es cóncava. Esto puede observarse en el programa o bien calculando f''(x) y comprobando que es negativa en el dominio.

2: Función

a) Dominio: No está definida en el intervalo [-2,1).

b) Cortes con los ejes: Punto (1,0)

c) Regiones: f(x)>0 en (-inf,-2)U(1,+inf)

d) Asíntotas:

- Horizontal: y=1. No corta la curva y esta se aproxima por arriba para x<-2 y se aproxima por abajo para x>1

- Vertical: x=-2

e) Información de la derivada primera:

No está definida en [-2,1] y es positiva en todo el dominio. Por tanto f(x) es creciente en su dominio.

No existen singularidades.

Puede comprobarse que la tangente a la curva en x=1 es vertical (pendiente infinita) tomando límite lateral de la función f'(x).

f) Otras informaciones:

No es necesario calcular la derivada segunda para comprobar la forma de la curvatura (cóncava o convexa). Con los datos de que disponemos no puede ser de otra manera que convexa en (-inf,2) y cóncava en (1,+inf). También se puede comprobar sin mucha dificultad que la función f'(x) crece en (-inf,-2) y decrece en (1,+inf) (observar en el programa como varía f'(x)).

3: Función

a) Dominio: No está definida en el intervalo [-2,2]

b) Cortes con los ejes: No hay cortes.

c) Simetría: Respecto del origen pues f(-x)=-f(x)

d) Regiones: f(x)>0 para x>2, f(x)<0 para x<-2

e) Asíntotas:

- Horizontales: y=1, y=-1.

No cortan a la curva y ésta se aproxima por arriba para x>2 y por abajo para x<-2.

- Verticales: x=2, x=-2

f) Información de la derivada primera:

No está definida en el intervalo [-2,2].

f'(x) <0 en el dominio, por tanto f(x) es decreciente.

f) Otras informaciones:

No es necesario calcular la derivada segunda para comprobar la forma de la curvatura (cóncava o convexa). Con los datos de que disponemos no puede ser de otra manera que convexa en (2,+inf) y cóncava en (-inf,-2).

4: Función

a) Dominio: (-inf,+inf)

b) Cortes con los ejes: (0, raiz3(4)) , (2,0) y (-2,0)

c) Simetría: Respecto del eje OY pues f(x)=f(-x)

d) Regiones: f(x)>0 en el intervalo (-2,2) y f(x)<0 en (-inf,-2)U(2,+inf)

e) Ramas parabólicas:  Comprobar analíticamente que el tipo de ramas parabólicas que presenta son tales que tienen pendiente nula en el infinito, m=lím f(x)/x=0 

No hay asíntotas. 

f) Información de la derivada primera:

No está definida en x= 2 y x=-2. En estos puntos la tangente es vertical (pendiente infinita)

f'(x) >0 en (-inf,0): f(x) creciente

f'(x)=0 en x=0: Máximo relativo

f'(x)<0 en x>0: f(x) decreciente

g) Otras informaciones: La expresión de la derivada segunda de f(x) se complica lo suficiente  para que la desechemos como herramienta que nos permita averiguar la concavidad y convexidad. Si pensamos que la curva es simétrica respecto de OY y solo es necesario observar para x>0,  caeremos en la cuenta de lo siguiente:

- El máximo en x=0 y la tangente infinita (-inf) en x=2 no advierte que la función f'(x) decrece en el intervalo (0,2), es decir que en (0,2) hay concavidad pues f''(x) tiene que ser negativa.

- Tipo de rama parabólica que presenta  nos informa que tiene pendiente nula en el infinito por lo que la función f'(x) en el intervalo (2,+inf) tiene que crecer y f''(x)>0; es decir que en (2,+inf) hay convexidad.

- De los dos apartados anteriores deducimos que en x=2 y en x=-2 cambia la forma de la curvatura; dichos puntos son de inflexión y con pendiente vertical.

Observación: es muy instructivo representar en el programa la función f'(x). Reemplazar la entrada editable f(x) por la correspondiente a f'(x)=-2*x/(3*((4-x^2)^2)^(1/3)) y se observará el crecimiento y decrecimiento de la misma a los efectos de comprobar la concavidad y convexidad de f(x).