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Funciones trascendentes
Las funciones racionales y las irracionales, que han sido tratadas en las páginas anteriores, se denominan funciones algebraicas.

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales 

  • Función exponencial: 

f(x)=ax; a > 0, a ¹ 1.

  • Función logarítmica:

    f(x)=loga(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.

     

  • Funciones trigonométricas:

    También llamadas circulares

    f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras.

Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:

  • f(x)=ax está definida para todo x en R

  • f(x)=a-x=(1/a)x, a>1, 0<1/a<1

  • f(x)=loga(x) está definida para x>0

  • Representaremos el logaritmo decimal log10(x) por log(x) y el logaritmo neperiano loge(x) por ln(x), siendo e=2,718281... el llamado número 'e'

  • f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2p

  • f(x)=tg(x) no está definida para x=p/2 +kp. Su periodo es p.

  • Cuando se trate de funciones compuestas del tipo: ag(x), loga(g(x)), tg(g(x)), etc, debemos observar el dominio compuesto de g(x) y de la función trascendente.

Ejemplo: f(x)=log (x/(x-1)) no está definida para los valores de x/(x-1) donde ésta no lo ésta, x=1, y para los valores x tales que x/(x-1) es menor o igual a 0. Por tanto Df=(-inf,0)U(1,+inf)

A modo de repaso, mostramos en el siguiente programa las gráficas de las funciones trascendentes elementales: ex, e-x y sus inversas respectivas ln(x), log1/e(x). Comprobar que las funciones inversas son entre sí simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y=x. Analizar las posibles asíntotas y las ramas parabólicas que presentan.

El/la estudiante podrá comparar las diferencias al editar exponenciales y logarítmicas con diferente valor de la base a, sustituyendo las entradas f(x), g(x) y h(x).

Observar: La función ex se representa en el programa como exp(x) y la función ln(x) como log(x). Cualquier otra exponencial ax deberá darse como a^x y cualquier otra logarítmica loga(x) como log(x)/log(a).

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=ex/x que es analizada en el ejemplo 1 (al margen derecho)

Variando el parámetro paso de 1 a 6 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Regiones

Paso 3: Rama parabólica

Paso 4: Asíntotas

Paso 5: Monotonía y extremos

Paso 6: Trazado de la curva

Observación :

El parámetro x permite recorrer la variable independiente en el dominio de la función en incrementos de 0.125. Pero puede introducirse directamente cualquier valor para x.

El parámetro deriv es un conmutador de dos estados 0 y 1. Si deriv=1 se muestra el valor de la función f'(x) que permite comprobar:

  • La propiedad de monotonía, f'(x)>0 ó f'(x) <0 
  • Singularidad de la función., f(x)=0
  • La convexidad cuando f'(x) crece
  • La concavidad cuando f'(x) decrece

La entrada editable y=g(x) permite ser reemplazada por cualquier expresión funcional y se visualiza su gráfica facilitando cualquier comprobación que se necesite a lo largo del análisis. Por ejemplo:

  • Reemplazar g(x) por (x-1)*exp(x)/x^2 para ver f'(x)
  • Reemplazar g(x) por x^2-2*x+2 que aparece como factor de f''(x) para comprobar que es siempre >0
  • etc.
 Ejemplo analizado 1

1: Analizar y representar la gráfica de f(x)=ex/x

a) Dominio:

 El cociente no está definido para x=0, por tanto Df=R-{0}

b) Cortes con los ejes coordenados: 

- Corte OX: y=0 no es posible pues ex no se anula. 

- Corte OY: x=0 no es posible pues no está definida para ese valor.

c) Regiones:  

Como ex es positiva para todo x, resulta que f(x) >0 para x>0 y f(x)<0 para x<0.

d) Ramas infinitas:

- Rama parabólica:

- Asíntota horizontal: y=0

- Asíntota vertical: x=0

e) Información de la derivada primera:

Puesto que ex>0 y x2>0, el signo de f'(x) es el signo de x-1. 

  • f'(x)<0 si x<1: f(x) decrece para x<1

  • f'(x)>0 si x>1: f(x) crece para x>1

  • f'(x)=0 si x=1: Mínimo relativo en x=1

f) Información de la derivada segunda:

Es fácil probar que x2-2x+2 >0 para todo x, por tanto el signo de f''(x) es el mismo que el de x3

  • f''(x) >0 si x>0: f(x) convexa

  • f''(x) <0 si x<0: f(x) cóncava

  • No hay puntos de inflexión

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=ln(x2+1) que es analizada en el ejemplo 2 (al margen derecho).

Variando el parámetro paso de 1 a 8 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Regiones

Paso 3: Cortes con los ejes

Paso 4: Simetría

Paso 5: Ramas parabólicas

Paso 6: Monotonía y extremos

Paso 7: Puntos de inflexión.

Paso 8: Gráfica

Observación: Tener en cuenta la utilidad de los parámetros de entrada x y deriv y de la expresión editable g(x) y las recomendaciones de uso que se hizo en el ejercicio anterior.

 Ejemplo analizado 2:

Analizar y representar la gráfica de f(x)=ln(x2+1)

a) Dominio: R pues x2+1 >0 para todo x

b) Cortes con los ejes coordenados:

- Corte con OX: y=0 -> x=0. Corta en (0,0)

- Corte con OY: x=0 -> y=ln(1)=0. Corta en (0,0)

c) Simetría: Respecto del eje OY pues f(x)=f(-x)

d) Regiones:  Como x2+1 > 1, x¹0, se tiene que f(x) >0

e) Ramas infinitas: 

-Ramas parabólicas: 

f) Información de la derivada primera:

  • f'(x)<0 si x<0: Función decreciente

  • f'(x)>0 si x>0: Función creciente

  • f'(x)=0 si x=0: Mínimo relativo 

g) Información de la derivada segunda:

  • f''(x) >0 si  -1 < x < 1: Función convexa

  • f''(x)<0 si x < -1 ó x > 1: Función cóncava

  • f''(x)=0 si x= -1 ó x= 1: Puntos de inflexión

(-1,ln(2)), (1,ln(2))

 

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=x+sen(x) que es analizada en el ejemplo 3 (al margen derecho).

Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Regiones

Paso 3: Cortes con los ejes

Paso 4: Simetría respecto (0,0)

Paso 5: Puntos singulares

Paso 6: Puntos de inflexión

Paso 7: Gráfica

Observación: Tener en cuenta la utilidad de los parámetros de entrada x y deriv y de la expresión editable g(x) y las recomendaciones de uso que se hizo en los dos  ejercicios anteriores. 

Para facilitar la lectura sobre la gráfica se han puesto las marcas de los valores múltiplos de p sobre el eje OX, el incremento del parámetro x se ha puesto en p/4

 

 

 Ejemplo analizado 3:

Analizar y representar la gráfica de f(x)=x+sen(x)

a) Dominio: R

b) Cortes con los ejes:

- Con el eje OX: y=0 ® -x=sen(x) ® x=0; (0,0) y no hay más puntos pues ya veremos que la función es creciente.

- Con el eje OY: x=0  ® y=0; (0,0)

c) Simetría: Respecto del origen (0,0) pues -f(x)=f(-x)

d) Comportamiento en el infinito: Esta función tiene un comportamiento especial en el infinito que no hemos tratado aún. 

 

no existe este límite pues sen(x) oscila entre -1 y 1.

Si repasamos este comportamiento en el infinito, vemos que si m ó n no existen no hay rama parabólica.

e) Información de la derivada primera: 

f'(x)=1+cos(x)

f'(x)=0  si cos(x) = -1 y esto es cierto para x=(2k+1)p ; para cualquier otro valor de x, cos(x) > -1 y por tanto f'(x) >0, es decir la función f(x) es creciente en el dominio. 

No existen extremos relativos.

f) Otras informaciones: 

f''(x)=-sen(x); f'''(x)=-cos(x)

Para x=kp,  f''(x)=0 y f'''(x) ¹ 0, luego estos son puntos de inflexión.

  • f''(x) < 0 en  (0, p), (2p, 3p),...

es decir en los intervalos  (2kp,(2k+1)p)

 k=0, ±1, ± 2, ±3 ... la función es cóncava

  • f''(x) >0 en los intervalos (p,2p), (3p,4p),...

es decir en los intervalos ((2k+1)p,(2k+2)p)

 k=0, ±1, ± 2, ±3 ... la función es convexa
Ejercicios:

Analizar y representar la gráfica de las siguientes funciones trascendentes:

1: f(x)= x2e-x

2: f(x)=x/ln(x)

3: f(x)=ln(x2-1)

4: f(x)=ecos(x)

El programa de la derecha permite ver la gráfica de las funciones anteriores y de alguna manera facilita la comprobación de los resultados que el/la estudiante obtenga del análisis.

En el apartado de ayuda damos las expresiones de las funciones f'(x) y f''(x)

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Ayuda:
f(x) f'(x) f''(x)
1

x2e-x

(2x-x2)e-x

 (x2-4x+2)e-x
2

x/ln(x)

(ln(x)-1)/(ln(x))2

 (2-ln(x))/(x(ln(x))3)
3

ln(x2-1)

2x/(x2-1)

-2(x2+1)/(x2-1)2
4

ecos(x)

-sen(x)ecos(x)

(1-cos(x)-cos2(x))ecos(x)

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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000