Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Simetría

Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados

Paso 4: Regiones

Paso 5: Asíntotas

Paso 6: Puntos singulares y de inflexión.

Paso 7: Trazado de la curva

Analizar y representar la función f(x)=x³/(x²-1)

a) Dominio: La función no esta definida para x²-x-6=0 -> x=-2, x=3. D_f=R- {-1,1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

• Eje OX: f(x)=0 <-> x³=0 -> x=0
• Eje OY: f(0)=0 -> y=0

d) Regiones:

e) Asíntotas:

• Verticales: x=-1, x=1
• Oblicuas: 

=1; =0 <-> y=x

f) Puntos singulares:

• f'(x)=x²(x²-3)/(x²-1)²
• f'(x)=0 « x²(x²-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3
• f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2
• f''(x)=(2x³+6x)/(x²-1)³
• f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo
• f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo
• f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión 

g) Puntos de Inflexión

• f''(x)=(2x³+6x)/(x²-1)³
• f''(x)=0 « 2x³+6x=0 « 2x(x²+3)=0 « x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a  f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0; en efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño. La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada, ya que al disponer de las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente: 

Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.

Obsérvese cómo la curvatura cóncava o convexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.

1:f(x)=(x+1)/(2x²-x-1)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 yen x=1
• Cortes: (0,-1), (-1,0)
• Regiones:

  f(x)<0: (-inf,-1)U(-1/2,1)

  f(x)>0: (-1,-1/2)U(1,+inf)

   

• Asíntotas:

  Horizontal: y=0

  Verticales: x=-1/2, x=1

   

• Puntos singulares:

  Máximo: (0,-1)

  Mínimo: (-2,-1/9)

2: f(x)=(x³+x²)/(2x²+x)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0

• Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x²+x)/(2x+1)

• Cortes con los ejes: (-1,0). 

• Regiones: 

f(x)<0: (-inf,-1)U(-1/2,0)

f(x)>0: (-1,-172)U(0,+inf)

• Asíntotas:

  Vertical: x=-1/2

  Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x®+inf; se aproxima por arriba cuando x®-inf

• Puntos singulares: No tiene.

• Puntos de inflexión: No tiene

  f''(x)=-2/(2x+1)³. Cóncava: x>-1/2; convexa: x<-1/2

3: f(x)=(x²-2x+2)/(x-1)

• Dominio: No está definida en x=1

• Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)

• Regiones:

  f(x)<0:(-inf, 1); f(x)>0: (1,+inf)

   

• Asíntotas:

Vertical: x=1

Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥.

• Puntos singulares:

  Mínimo (2,2)

  Máximo (0,-2)

   

• Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)³. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥)

4: f(x)= x/(x-2)²

• Dominio: No está definida en x=2

• Cortes con los ejes coordenados:(0,0)

• Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥)

• Asíntotas:

  -Horizontal: y=0. La curva no la corta.

  -Vertical: x=2

• Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)

• Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)² > 0 para todo x: Convexa

5: f(x)=|x|/(x+1)

Se descompone en dos trozos:

f(x)=x/(x+1), para x³0

f(x)=-x/(x+1), para x<0

El análisis se hace separadamente, en cada trozo.

• Dominio: No está definida en x=-1

• Cortes con los ejes coordenados: (0,0)

• Regiones: f(x)<0: (-¥,-1); f(x)>0: (-1,+¥)

• Asíntotas:

  -Horizontales: y=1 por la derecha sin cortarla. y=-1 por la izquierda sin cortarla.

  - Vertical: x=-1

   

• Información de la derivada primera: f'(x)=-1/(x+1)², si x<0; f'(x)=1/(x+1)², si x>0. No existe en x=0 porque f'_-(0)¹f'₊(0): existe un punto anguloso y es mínimo local. 

f(x) es decreciente para x<0 y creciente para x>0: No hay singularidades.

• Información de la derivada segunda: f''(x)=2/(x+1)³, si x<0; f''(x)=-2/(x+1)³, si x>0. 

Cóncava: (-inf,-1)U(0,+inf). Convexa: (-1,0)

No está definida f''(0), pues f''_-(0) ¹f''₊(0) pero x=0 es punto de inflexión al cambiar la curvatura de convexa a cóncava.

6: f(x)=(1-|x|)/(1+|x|)

Se descompone en dos trozos:

f(x)=(1-x)/(1+x), para x³0

f(x)=(1+x)/(1-x), para x<0

El análisis se hace separadamente, en cada trozo.

• Dominio: Está definida para todo x en R

• Cortes con los ejes coordenados: (0,1), (1,0), (-1,0)

• Regiones: f(x)>0: (-1,1); f(x)<0: (-¥,-1)U(1,+¥)

• Asíntotas: 

- Horizontales: y=-1 por la derecha y por la izquierda, sin cortarla y con aproximación por arriba.

- Verticales: No hay

- Oblicuas: No hay

• Información de la derivada primera:f'(x)=-2/(1+x)², si x>0; f'(x)=2/(1-x)², si x<0. No existe en x=0 porque f'_-(0)¹f'₊(0): existe un punto anguloso y es máximo local.  No hay puntos singulares.

• Información de la derivada segunda:f''(x)=4(1+x)³, si x>0; f''(x)=4(1-x)³, si x<0. Por tanto f''(x)>0 en su dominio y f(x) es convexa en su dominio. No existen puntos de inflexión.