En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=0.25x⁴-2x²+3 que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 9 irán apareciendo en la escena los distintos elementos  necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1; Dominio

Paso 2: Simetría

Paso 3: Cortes con el eje OX

Paso 4: Corte con el eje OY

Paso 5: Regiones

Paso 6: Ramas parabólicas

Paso 7: Puntos singulares

Paso 8: Puntos de Inflexión

Paso 9: Trazado de la curva

Analizar y representar la función f(x)=0.25x⁴-2x²+3

a) Dominio: R

b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.

c) Corte con los ejes:

• Cortes con OX: 0.25x⁴-2x²+3=0 -> x=±Ö6, ±Ö2
• Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

e) Ramas parabólicas:

• Para x®±¥, f(x)®+¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=x³-4x
• f'(x)=0 <-> x(x²-4)=0 -> x=0, x=2, x=-2
• f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1
• f''(x)=3x²-4
• f''(0)=-4 <0 -> Máximo (0,3)
• f''(-2)=8 >0 -> Mínimo (-2,-1)
• f''(2)=8 >0 -> Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

• f''(x)=0 <-> 3x²-4=0 -> x=±Ö4/3
• f(Ö4/3)=7/9; f(-Ö4/3)=7/9
• f'''(x)=6x
• f'''(Ö4/3) >0 -> Inflexión: (Ö4/3,7/9)
• f'''(-Ö4/3)<0 ->Inflexión: (-Ö4/3,7/9)

Ejemplo analizado 2:

Analizar y representar la función f(x)=x⁴+1

a) Dominio: R

b) Simetría: Como no es ni par ni impar no hay simetría ni respecto del eje OX ni respecto del origen.

c) Cortes con los ejes:

• Eje OX: f(x)=0 <-> x⁴+1=0 -> x⁴=-1 No tiene
• Eje OY: f(0)=1

d) Regiones:

Al no tener corte con el eje OX, la función tiene el mismo signo en todo R: x⁴+1 >0

e) Ramas parabólicas:

• Para x®±¥, f(x)®+¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=4x³
• f'(x)=0 <-> 4x³=0 -> x=0
• f(0)=1
• f''(x)=12x²
• f''(0)=0
• f'''(x)=24x
• f'''(0)=0
• f^iv(x)=24
• f^iv(0)=24¹0

Como el orden de derivación para el que la derivada es distinta de cero es n=4, par y f^iv(0)>0 se trata de un Mínimo (0,1).

Al no tener punto de inflexión la curvatura no cambia en todo R: Es una función convexa.

Ejercicios:

Analizar las siguientes funciones,

1: f(x)=0.5x³-2x

2: f(x)=x³-x²

3: f(x)= x³-3x²+3x+2

Modificando los parámetros a, b, c, d y e podemos obtener su representación.

El parámetro deriv puede variar de 0 a 3 y con él vemos la función derivada hasta del tercer orden.

Para detectar los puntos críticos  visualizar f'(x) y posicionarse en los cortes de ésta con el eje OX. Una vez hecho comprobar el signo de la f''(x) para el máximo y para el mínimo.

Para detectar los puntos de inflexión visualizar f''(x) y posicionarse en los cortes con el eje OX.  Una vez hecho comprobar que f'''(x) no se anula.

Comprobar que el signo de la rama parabólica es el que le corresponda al término de mayor grado axⁿ

Para el ejemplo analizado nº 1 al margen derecho, verificar con el programa introduciendo a=0.25, b=0, c=-2, d=0, e=3.

Para el ejemplo analizado nº 2, verificar con el programa introduciendo los parámetros a=1, b=c=d=0, e=1

Comprobar las soluciones de los ejercicios propuestos.