Simetría y periodicidad

Simetría y periodicidad

Observar con Descartes

El programa siguiente permite ver la simetría de cuatro funciones. Para ver cada una hay que cambiar el parámetro función (1,2, 3 y 4).

Cualquier otra función puede ser vista poniendo el parámetro función a 0 y sobrescribiendo la entrada editable f(x) por la expresión correspondiente.

Simetrías

Función Par: Si una función f verifica que f(x)=f(-x), se dice que la función es par y entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY.

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica entonces f(a)=f(-a)=b, es decir el punto (-a,b) también pertenece a la gráfica: los puntos (a,b) y (-a,b) están a la misma altura, b y a igual distancia, |a|, del eje OY.

Ejemplos: Cualquier función polinómica que sólo tenga términos de grado par es una función par, como f(x)=0.25x⁴-2x²; f(x)=x²-1. También son pares las funciones f(x)=(x³-5x)/(x³-2x), f(x)=cos(x)

Función Impar: Si una función verifica que f(-x)=-f(x), se dice que es función impar y entonces su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0).

La explicación es simple, ya que si un punto (a,b) pertenece a la gráfica, entonces b=f(a) <-> -b=-f(a)=f(-a)

Los puntos P(a,b) y P'(-a,-b) pertenecen a la gráfica y evidentemente son simétricos respecto del origen O(0,0) puesto que dist(OP)=dis(OP'), pues

Ejemplos: Cualquier función polinómica con sólo términos de grado impar como f(x)=5x³-5x es función impar. También son impares f(x)=x³/(x²+1); f(x)=sen(x); f(x)=tg(x)

Ejercicios

Demuéstrese si las siguientes funciones son simétricas o no lo son y en caso afirmativo decir que tipo de paridad y que tipo de simetría tiene.

	Función f(x)	Para el programa: sobrescribir f(x)	solución
1		x^3-5*x
2		(x^3-5x)/(x^3-2x)
3		x^2+x

Periodicidad

Las únicas funciones periódicas que el alumno debe conocer hasta el momento, a parte de las que se construyen artificialmente son las trigonométricas:

Una función f(x) es periódica con periodo k, si verifica que f(x)=f(x+nk), k entero.

Ejemplo: f(x)=sen(x) es periódica y periodo k=2p, verificándose sen(x)=sen(x±2p)=sen(x±4p)=sen(x±6p)=...

f(x)=tg(x) es periódica y periodo k=p , verificándose tg(x)=tg(x±p)=tg(x±2p)=tg(x±3p)=tg(x±4p)=...

Conocer el periodo facilita la interpretación de la función pues basta con analizar la función en el intervalo [0,k] ya que a la izquierda y derecha del mismo se repite indefinidamente la misma forma.

Propiedades:

Si f(x) es periódica de periodo k, también será periódica la función compuesta f(mx+n) y su periodo es k/m.

Ejemplo:

El periodo de la función f(x)=sen(2x+3) es 2p/2= p

Si f(x) y g(x) son periódicas de periodos k y k' respectivamente, las funciones f(x)±g(x), f(x)g(x) y f(x)/g(x) también son periódicas y su periodo no supera al mcm(k,k')

Ejemplo:

El periodo de la función sen(2x)+sen(x) es 2p

Observar con Descartes

El programa siguiente incluye las funciones periódicas f(x)=sen(mx+n) y f(x)=tg(mx+n), donde m y n son parámetros que se pueden modificar desde la entrada.

Poner el parámetro función a 1 ó 2 para consultarlas.

Hay dos entradas editables de funciones f(x) y g(x) que permiten ver cualquier otra función periódica. Sobrescribir f(x) ó g(x) o ambas con la expresión que interese y poner función a 0 para verlas a ellas solamente. Si además función está a 1 ó 2 se superpondrán las gráficas, lo cual puede ser interesante para hacer comparaciones.

La entrada Tabla puesta a 1 proporciona una pequeña tabla de valores de múltiplos y submúltiplos de 2p que puede ser útil cuando interese poner la variable x a alguno de estos valores.

Ejercicios

a) Observar con Descartes la periodicidad de las siguientes funciones sen(x); tg(x); sen(2x); sen(2x+1); sen(2x+p); sen(2x+p/2); sen(0.5x) y explicar como influye los parámetros m y n respecto de la periodicidad de la función sen(x) y tg(x)

b) Comparar la funciones sen²(x) y sen³(x) con sen(x). ¿Cual es el periodo de cada una?

c) ¿Cómo se ve afectado el periodo de sen(x) al multiplicarla por un factor constante, p.e 2sen(x)?

d) ¿Cuál es el periodo de sen(2x)+sen(x); sen(3x)-sen(x); sen(2x)+2*cos²(x)

e) Verificar si son periódicas sen(x)+x ; cos(x)+x; sen(x)/cos(x)

Soluciones:

1: f(x)=x³-5x; f(-x)=(-x)³-5(-x)=-x³+5x=-(x³-5x)=-f(x). Como f(-x)=-f(x) la función es IMPAR y tiene simetría respecto del origen (0,0)

2: ; calculamos f(-x) sustituyendo en la expresión x por -x. Se obtiene que f(-x)=f(x) por tanto la función es PAR y tiene simetría respecto del eje OY.

3: f(x)=x²+x; calculamos f(-x)=x²-x y como f(-x) no coincide ni con f(x) ni con -f(x) resulta que la función ni es par ni es impar y por tanto no es simétrica ni respecto (0,0) ni respecto del eje OY.


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000