Ramas infinitas

Observar con Descartes

El siguiente programa permite comprobar las propiedades asintóticas que presentan las 2 funciones de los ejemplos anteriores y además permite editar una función f(x) cualquiera y hasta dos asíntotas posibles de la misma (si fuera el caso) y=a_1(x)=mx+n e y=a_2(x)=m'x+n'. Esta última posibilidad será útil para verificar los resultados de los ejercicios que se proponen y que el/la estudiante deberá resolver analíticamente. 

Las funciones ejemplo se activan poniendo la entrada función a 1 o 2.

Para editar otras funciones poner función a 0 y sobrescribir las entradas f(x) y a_1(x) ó a_2(x) (no borrar y=) por las expresiones admitidas por Descartes correspondientes a la función del ejercicio y su(s) asíntotas.

Para visualizar correctamente los ejemplos hacer:

Caso función=1: Rama izquierda: Escala=32, Ox=160, Oy=128

Rama derecha: Escala=56, Ox=-288, Oy=192

Caso función=2: Rama izquierda Escala=24, Ox=128, Oy=-32

Rama derecha: Escala=24, Ox=-224, Oy=320.

Para comprobar la tendencia de la función, aumentar o disminuir el valor de la variable x.

RAMAS INFINITAS CUANDO 

x® +¥ ó x® -¥

Cuando hacemos tender x a infinito (nos alejamos indefinidamente por el eje de abcisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica).

En las figuras de la izquierda se muestran algunos casos.

Vamos a estudiar estos comportamientos.

a) Asíntota horizontal:

Si ó entonces la curva f(x) se aproxima a la recta y=l. Esta recta se dice que es una asíntota horizontal.

Para saber si la aproximación a la asíntota es por arriba o por debajo, se estudia el signo que tiene f(x)-l cuando x®+ ¥ ó x®- ¥

Ejemplo: 

La función f(x)=(3x²-5x+1)/(x²-x-2) tiene por límite en el infinito el valor 3; y=3 es una asíntota horizontal.

Para ver por donde se aproxima calculamos  f(x)-3=(-2x+7)/(x²-x-2) que es negativa si x®+ ¥ y positiva si x®- ¥ : se aproxima por debajo, (f(x)-3)<0, cuando  x®+ ¥ y se aproxima por arriba, (f(x)-3)>0, cuando x®- ¥ .

b) Asíntota oblicua

Una función presenta una asíntota oblicua, y=mx+n, cuando x®+ ¥ si se dan las siguientes condiciones:

la diferencia entre la ordenada de la curva f(x) y la ordenada de la asíntota mx+n,  tiende a cero cuando x® ¥ por ello f(x)-mx tiende a n y  f(x)/x tiende a m. ¡¡Hágase  el cálculo!!

La posición de la curva respecto de la asíntota se obtiene calculando el signo de f(x)-(mx+n) cuando x® ¥ Todo lo dicho tiene la misma validez si x®- ¥ . Cuando la función es racional irreducible f(x)=P(x)/Q(x) y el grado del polinomio P(x) es una unidad mayor que el de Q(x), tenemos seguridad de que tiene una asíntota oblicua. La demostración es sencilla: P(x)/Q(x) tiene un cociente de primer grado (lineal), pongamos mx+n y un resto R(x) de grado menor que Q(x), por lo que  P(x)/Q(x)=mx+n +R(x)/Q(x) al tender x a infinito, R(x)/Q(x) tiende a cero y por tanto P(x)/Q(x) se aproxima a mx+n; es decir y=mx+n es una asíntota oblicua de f(x) tanto si x® ¥ como si x®- ¥ . Ejemplo:  Calcular la asíntota oblicua de (x2+3x+1)/(x-1). haciendo la división se obtiene (x+4) + 5/(x+2); por tanto y=x+4 es la asíntota pedida. Comprobar las tres condiciones para tener asíntota oblicua cuando x® ± ¥ a) lim f(x)= lim (x2+3x+1)/(x-1) = + ¥, b) lim f(x)/x = lim (x2+3x+1)/(x2-x)=1¹0; m=1 c) lim (f(x)-mx)=lim (x2+3x+1)/(x-1) - x = 4; n=4

Si    y  , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente:

Ejemplo: f(x)=x², f(x)=e^x, f(x)=e^x/x³

Si  y  ,  entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente:

Ejemplos: f(x)=Ö x , f(x)=ln(x)

RAMAS INFINITAS CUANDO x®a

Asíntotas verticales.

Si  entonces x=a es una asíntota vertical..

Si admitimos que está definida a ambos lados de la asíntota, pudiera ocurrir alguno de los cuatro casos siguientes:

Para saber a que caso corresponde tenemos que calcular los límites por la derecha y por la izquierda de a.

Criterio práctico: Si tenemos una función racional, de la forma f(x)= P(x)/Q(x), las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x tales que Q(x)=0 y P(x)¹0.

• Si x=a es una raíz simple de Q(x), las ramas laterales se aproximan a la asíntota  en sentidos opuestos (casos 2 y 3): un límite lateral es +¥ y el otro -¥

• Si x=a es una raíz doble de Q(x), ambas ramas laterales se aproximan a la asíntota  en el mismo sentido (casos 1 y 4): ambos límites son o bien +¥ o bien -¥.

Para pensar:

Aplicar los conocimientos adquiridos en esta página para identificar  cada función con las mostradas en las siguientes escenas: