Dominio, continuidad y derivabilidad

Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida: D_f= {xÎR: $ y=f(x)}

Hay funciones que se crean artificialmente dando por definición el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situación real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunque matemáticamente se pueda calcular.

Las funciones polinómicas están definidas en todo R.

Las funciones racionales (cociente de polinomios), no están definidas en los valores que anulan el denominador.

Ejemplo: 

y=(3x²-5x-6)/(x²-x-2) no está definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir D_f=R - {-1,2}

Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)^m/n están definidas en todo R si el índice n es impar y sólo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el índice n es par.

Ejemplo: 

El dominio de y=x^3/2 es D={xÎR: x>=0}.

El dominio de y=(x²-x-2)^1/2 es D=R-(-1,2); no está definida para x²-x-2<0 es decir en el intervalo abierto de extremos -1 y 2.

La función logarítmica y= log_ax está definidas para  x>0. En general y=log_a g(x) esta definida para los x tales que g(x)>0.

Ejemplo: 

y=ln (x²-4) no está definida en x tal que x²-4<0, es decir en abs(x)<2 que representa el intervalo (-2,2); por tanto el dominio es D=R-(-2,2)

Las funciones y=sen(x), y=cos(x) e y=a^x están definidas para todo x.

La función trigonométrica y=tg(x) no está definida para x=p/2+kp, kÎZ

La función definida como:

y=e^x-1 para x>=0 tiene un dominio artificial y por alguna conveniencia o por ser modelo de algún fenómeno real no tiene interés considerar x<0.

La función siguiente está definida a trozos:

el dominio es R pero este está dividido en dos intervalos; estando cada intervalo regido por una expresión distinta

Continuidad

Las funciones conocidas (salvo las definidas artificialmente) son continuas donde están definidas.

Derivabilidad

También son derivables en el dominio de definición  las funciones habituales. Aparecen puntos angulosos cuando se utiliza la función valor absoluto y en algunos radicales en el punto donde el radicando es cero.

Ejemplo: 

y=abs(x-1), está definida y es continua en R pero no es derivable en x=1 (punto anguloso)

Ejemplo: 

y=x^2/3 está definida y es continua en R pero presenta un punto anguloso en x=0.

Calcular el dominio D_f, los puntos de continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones.

	Función f(x)	(*) Debe escribirse para el Nippe  Descartes así:	Solución
1		(x^2-x-1)/(x^2-4)
2		(x-3)/sqrt(x-2)
3		cos(1/x)
4		exp(x)/sqrt(log(x))
5		sqrt(x^2-x-2)
6		x*exp(1/x)/(x+4)
7		sqrt(x^3-x)
8		x/log(x)
9		log(4-sqrt(25-x^2))

(*) puede evitarse escribir la expresión Descartes para el programa, copiándola con Ctrl+C de la tabla y pegándola  con Ctrl+V sobre f(x) seleccionada en la entrada del programa.