TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO | |
Análisis | |
1. BÚSQUEDA DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO | ||
Históricamente la derivada surge para resolver el problema del trazado de la tangente a una curva plana en uno de sus puntos. En esta escena se ve la gráfica de una función y se propone que se tracen las tangentes en algunos puntos. | ||
1.- Dibuja en tu cuaderno la gráfica de esta escena, traza las tangentes en varios puntos (A, B, C y D, por ejemplo) y escribe en el cuaderno de trabajo cómo crees que se traza la tangente a una curva en uno de sus puntos. |
2. CARACTERÍSTICAS DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO | ||||||
En esta escena se representa la tangente a la curva en cualquier punto de la gráfica. Se puede ver que la posición relativa de la tangente en cada punto, respecto de la curva, es distinta dependiendo de las características del punto. | ||||||
2.- Observa las tangentes en distintos puntos de la curva, en particular en los puntos A, B, C, D y escribe en tu cuaderno si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas indicando por qué y poniendo ejemplos. |
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3. Después de responder a estas preguntas escribe en el cuaderno lo que creas que define a la recta tangente a una curva en un punto. |
3. APROXIMACIÓN A LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO | |||
Habrás visto que no es fácil dar una definición de tangente a una curva en un punto P que sirva para todos los casos, sin embargo, sí es fácil definir la secante que pasa por dos puntos P y Q, como la recta que pasa por esos dos puntos. En esta escena utilizaremos las secantes para llegar a definir la tangente. | |||
4.- Observa las rectas secantes a la curva que pasan por el punto P, cuando Q se aproxima a P (es decir, cuando h tiende a cero).
5.- Coloca el punto P en a = 1 y observa las secantes por la derecha (h>0) y luego por la izquierda (h<0). ¿A qué recta se aproximan? |
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6.- Repítelo para a = 0, para a = -1, para a = -2,... Observa que, en cada caso, si Q se aproxima a P, tanto por la derecha como por la izquierda, el límite es la misma recta. 7.- Observa ahora lo que ocurre para a = 2. Explica en tu cuaderno lo que sucede. 8.- Reproduce el proceso con una regla en tu cuaderno, traza con lápiz la secantes que pasan por un punto P y dibuja la tangente. |
4. DEFINICIÓN DE TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO | ||||
Se puede definir que la recta tangente en un punto de la curva como el límite de las secantes cuando Q tiende a P. | ||||
9.- Observa la sucesión de secantes en los siguientes casos. a) Modificando el número de secantes para el mismo punto P. b) Modificando el valor de h, entre -1 y 1, para el mismo punto P. c) Modificando el punto P.
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10.- Comprueba que en cualquier punto que elijas (distinto de a=2) las secantes siempre se aproximan a la tangente cuando Q se acerca a P. |
Juan Madrigal Muga | ||
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | ||
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