PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES ( I )

Producto escalar de dos vectores 

Dados dos vectores,1,2  , se define Producto Escalar de  1y2, y se representa  por 1 .2  al NÚMERO obtenido multiplicando los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.


1 .2 = |1|.|2|. cos ()

El producto escalar de dos vectores cumple una serie de propiedades.  Las escenas que siguen te ayudarán a estudiarlas.

La escena calcula el Producto escalar de dos vectores V1 y V2.

  

1. Modifica los vectores v1 y v2 y estudia cómo se calcula su producto escalar (pulsa el control Prod. Esc.).

Comprobando propiedades

Modifica los vectores de la escena para comprobar  las siguientes propiedades:

 

4. Justifica en tu cuaderno de trabajo las propiedades comprobadas.

Ya conoces el producto escalar de dos vectores. Vamos a abordar ahora dos problemas de gran importancia en el estudio de la geometría analítica :

"Conocidas las coordenadas de dos vectores, determinar sus módulos y el ángulo que forman"

 Para poder acceder al cálculo de distancias y ángulos , necesitamos calcular el producto escalar de dos vectores conocidas sus coordenadas; la expresión que obtendremos recibe el nombre de Expresión analítica del producto escalar.

 Expresión analítica del producto escalar

Si las coordenadas de dos vectores u y v respecto a una base ortonormal son u (u1,u2) y v(v1,v2) entonces el producto escalar u.v adopta la siguiente expresión:

u.v = u1.v1+u2.v2

La escena siguiente calcula el producto escalar aplicando la expresión anterior y determina el ángulo que forman dos vectores y el módulo de cada uno de ellos.

Ejercicios
1. Activa los controles v1, v2, Prod. Escalar y Exp.Anal. , observa el cálculo del producto escalar a partir de sus coordenadas y compara los resultados obtenidos por ambos procedimientos. Modifica los vectores y comprueba cómo los dos resultados coinciden en todos los casos.

 

2. Activa el control Módulo y analiza cómo se calcula el módulo de un vector a partir de sus coordenadas.

3 Activa el control Ángulo y analiza cómo se calcula el ángulo que forman dos vectores.

2. Respecto de una base ortonormal tenemos: u(2,-3) y v(3,1).  Calcula u.v, |u|, |v| y el ángulo que forman.
3. Representa los siguientes pares de vectores, calcula el producto escalar  y el ángulo que forman. ¿Cómo son estos vectores?

(2,-1) y (1,-2)

 (2,-3) y (3,2) (-2, 4) y (4, -2) (0,-3) y (3,0)

4.¿Cuánto ha de valer x para v (x,1) sea perpendicular a  u (2,-3).                                              Ayuda
5. Determina un vector perpendicular al vector u (-3,4).

 

 

José Antonio Pérez Pérez
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005
 
 
 

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