LAS RELACIONES DE SEMEJANZA DE UN TRIÁNGULO

Un triángulo es semejante a otro cuando todos sus lados son paralelos, lo que implica que sus ángulos son iguales.

En un triángulo cualquiera se cumple que si prolongamos dos de sus lados hasta un segmento paralelo al tercero, la división entre las longitudes de cada pareja de lados permanece invariable.

Esto puedes comprobarlo en la siguiente escena:

Mueve los puntos A, B o C y verás cómo la relación entre los lados AB y AC de los dos triángulos es la misma.

Comprueba que esto mismo se cumple para cualquier pareja de lados.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO

En un triángulo rectángulo (con un ángulo recto, es decir, de 90º) se llama hipotenusa al lado que no toca al ángulo recto y catetos a los lados que lo tocan. Si un cateto toca a un ángulo, que no sea el recto, se le llama cateto contiguo a ese ángulo. Si no lo toca se le llama cateto opuesto a ese ángulo

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados del triángulo y sólo dependen de los ángulos de éste.

Las razones trigonométricas básicas son tres: seno, coseno y tangente.

Por ejemplo, el coseno de un ángulo es la relación entre el cateto contiguo (el que toca al ángulo) y la hipotenusa. Sea cual sea el triángulo, si el ángulo es el mismo, el coseno es igual.

La expresión de cada una de las razones trigonométricas las puedes ver en la siguiente escena:

Dando valor 1 al control de la razón trigonométrica que quieras, verás cómo se obtiene.

IMPORTANTE: Sólo puede haber un control (seno, coseno o tangente) con valor 1.

Actividades:

1.- Investiga cómo se obtienen las razones trigonométricas en tu calculadora.

2.- Escribe en tu cuaderno las razones trigonométricas para distintas longitudes de los catetos y compara los resultados con los obtenidos en  la escena 

3.- ¿Qué relación hay entre la semejanza de triángulos y que las razones trigonométricas de un ángulo sean constantes aunque se obtengan de triángulos distintos?.

4.- A partir de la definición de cateto opuesto y contiguo, ¿por qué el seno de un ángulo es igual al coseno del otro en cualquier triángulo rectángulo?.

LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO DE RADIO UNIDAD

Si en una circunferencia de radio igual a 1, dibujamos un triángulo rectángulo, con un vértice, que no sea el del ángulo recto, en el origen de la circunferencia, tenemos que la hipotenusa siempre tiene valor 1, ya que ésta siempre es el radio.

Si calculamos las razones trigonométricas seno y coseno del ángulo de este vértice, sus valores coinciden con las longitudes del cateto opuesto (el vertical) y contiguo (el horizontal) respectivamente.

En la siguiente escena puedes comprobarlo:

Si das valor 1 a los controles superiores de la escena, verás los valores de las razones trigonométricas correspondientes al nombre de cada control.

De lo que acabamos de ver se deduce, gracias al Teorema de Pitágoras, la relación fundamental de la trigonometría:

1= sen² A + cos² A

que se cumple para cualquier ángulo A.

Actividades:

5.- ¿Por qué el seno y coseno del ángulo coinciden con las longitudes de los catetos?. Fíjate en la expresión de ambas razones trigonométricas y en el valor de la hipotenusa.

6.- ¿Cómo se obtiene la relación fundamental de la trigonometría?.

7.- Utiliza la calculadora para averiguar razones de distintos ángulos. Anota en tu cuaderno los resultados y compáralos con los que se obtienen en la escena.