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Teorema del valor medio del Cálculo Integral |
| Análisis |
| 1. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN | |||
| A continuación te presentamos
una serie de ejercicios que deben ser resueltos en tu cuaderno de
trabajo y que luego pueden comprobarse en el apartado siguiente. Se
trata de estudiar la aplicación del teorema a una serie de funciones
distintas en determinados intervalos. En el caso de que la aplicación
sea factible, se trata de determinar el valor medio de la función y
el punto en el que se alcanza. De forma análoga también puedes
intentar resolver los problemas que aparecen en la página anterior en
alguno de los intervalos. 1. Estudia la aplicación del teorema a y = sen
x en el intervalo [0, p 2. Como sabes una, recta no horizontal, se caracteriza por tener un crecimiento o decrecimiento constante (que depende de su pendiente). ¿Qué ocurre con el valor medio de una función del tipo y = m x + n en un intervalo [a,b] ? Aplícalo a la función y = 2 x -1 en el intervalo [-1, 3]. 3. Considera la función y = abs ( x2 - 1) y el intervalo [0, 3]. ¿Podemos aplicar el teorema? 4. Sea y = 1 / x2 y el intervalo [-1, 1]. ¿Cuál es tu opinión en este caso?
Vamos a comentar primero los ejercicios y luego puedes comprobar las soluciones en la escena adjunta. 1. La función seno es continua para todo número real y por tanto se puede aplicar el teorema. Observa que el valor medio se alcanza en dos puntos del intervalo. 2. El valor medio se alcanza en el punto medio del intervalo. Compruébalo haciendo las operaciones pertinentes. Es un resultado general para las rectas no horizontales. 3. La función presenta un punto anguloso (un pico), en x = 1 y no es derivable en ese punto, pero si es continua. Por tanto el valor medio se puede calcular. 4. La función no es continua en x=0. Presenta en este punto una asíntota vertical y no se puede determinar el valor medio en el intervalo. |
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El control Problema indica el número del ejercicio. El control Solución puede tomar dos valores,0 y 1. Para el valor 0 aparece la función objeto del problema y para el valor 1 la solución
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3. UNA APLICACIÓN A LA ESTADÍSTICA Imaginemos que tenemos una varilla y que elegimos un punto de ella al azar. Nos preguntamos dos cosas: a) ¿Cuál es el valor medio del trozo más pequeño? b) ¿Cuál es el valor medio de la razón entre el trozo más pequeño y el más grande? El punto que elegimos sobre la varilla sigue una distribución uniforme. El trozo más pequeño puede encontrarse a la izquierda del punto medio o a la derecha. Vamos a suponer que se halla a la izquierda. Esto es válido dada la simetría de la situación. Llamemos x al trozo más pequeño. Si suponemos que la varilla tiene longitud unidad, el trozo mayor tendrá longitud 1-x . x 1 - x A_______·________________B
En estas condiciones la solución del problema será: a)
b)
lo que no deja de ser un tanto paradójico, porque intuitivamente podríamos pensar que la solución sería 1/3.
3. UNA APLICACIÓN A LA FÍSICA
La intensidad de una corriente alterna podemos expresarla mediante la función
i = io sen (2p t / T) siendo io el valor máximo, T el período y t el tiempo. La raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la intensidad de la corriente recibe el nombre de intensidad eficaz o efectiva. Vamos a calcular dicho valor medio, m, durante el período T. Tenemos que efectuar el cálculo siguiente :
La integral se puede hacer de forma relativamente sencilla si recordamos la fórmula trigonométrica sen2 a = 1/2 (1 - cos 2a). Teniendo esto en cuenta y haciendo algunas operaciones, que puedes realizar en tu cuaderno de trabajo, llegamos a que
y por último a un importante resultado de la teoría de la electricidad
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