INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas, tal que, su verificación depende de los valores de las variables que en ella intervienen.

Por ejemplo,

Resolver una inecuación es encontrar todas las solución, es decir, encontrar los valores de la variable que la verifican.

El proceso de resolución se basa en tranformaciones de equivalencia hasta llegar a una inecuación en la que la incógnita esté sólo en uno de sus miembros y como único término de este miembro, x<s . La solución viene dada por los infinitos valores que verifican esta última desigualdad, es decir, la semirrecta(intervalo) que tiene por origen al valor s.

 

TRANSFORMACIONES DE EQUIVALENCIA

Toda desigualdad viene determinada por uno de los signos de relación siguientes: <, , > ó . Que admiten las siguientes transformaciones de equivalencia:
  1. si a<b, c         a+c < b+c y a-c < b-c.
    Es decir, si en los dos miembros de una desialgualdad sumamos, o restamos, un número real cualquiera obtenemos otra desigualdad equivalente con el mismo signo de desigualdad.
  2. si a<b, c>0          a·c < b·c y .
    Es decir, si los dos miembros de una desigualdad se multiplican, o dividen, por un mismo número real positivo, resulta otra desigualdad equivalente a la dada con el mismo signo de desigualdad.
  3. si a<b, c<0         a·c > b·c y .
    Es decir, si los dos miembros de una desigualdad se multiplican, o dividen, por un mismo número real negativo, resulta otra desigualdad equivalente a la dada, pero cuyo signo de desigualdad es de sentido contrario a la dada

Por ejemplo, resolver

  • multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por 5, obtenemos así la inecuación equivalente:
  • restamos en los dos miembros 2x, obtenemos:
  • sumamos en ambos miembros 30:
  • dividimos los dos miembros por 38: .
    Por lo tanto la solución es la semirecta ; gráficamente sería:
Veamos ahora, en la siguientes escenas, la resolución gráfica de una inecuación de primer grado con una incógnita.
Para hacer el estudio gráfico, expresamos la inecuación dada, en ambos casos, mediante otra equivalente de la forma ax+b<0 (el signo de la desigualdad será el que se nos dé en la inecuación que nos propongan):

Escena 1
Para resolver la inecuación -x-2 0 representamos la recta y = - x -2.

Si movemos el punto P con el ratón, podemos observar el signo del polinomio
-x - 2(y buscamos que sea negativo o cero).
Comprueba que obtienes infinitas soluciones. Éstas se representan con un intervalo cuya notación es [-2,+ [ .

Si te fijas solo en el eje X verás una recta así:
        ________________________________________

El trozo azul corresponde a los valores de x que hacen el polinomio positivo. El naranja los que lo hacen negativo. El punto de unión lo hace cero.

Cambia con las flechas los valores de m y n y resuelve las siguientes inecuaciones:

-x -2 < 0
3 x + 6 > 0
2 x - 4 0
5 x + 2 0

Escena 2
Para resolver la inecuación , realiza las transformaciones de equivalencia hasta llegar a la expresión 38x-300. Escribe, mediante los controles respectivos, los valores de a, b y el signo de relación.Éste lo escribes poniendo el valor del control relación a:

0, para escribir <
1, para escribir (en la escena se escribe < =)
2, para escribir >
3, para escribir (en la escena se escribe > =)

Ficha 7

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