Una ecuación lineal es una expresión del tipo:

En ella, las variables  x₁,  x₂,  x₃, ... ,  x_n,  son las incógnitas de la ecuación y pueden tomar cualquier valor real.  a₁,  a₂,  a₃, ... ,  a_n,  son números reales fijos y reciben el nombre de coeficientes de las incógnitas. Por último, el número real  b  se llama término independiente.

Un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, tiene como expresión general la siguiente:

Donde:

a_ij,  i = 1, 2, 3, ... , m ;  j = 1, 2, 3, ... , n  son números reales fijos, que reciben el nombre de coeficientes del sistema.

x₁,  x₂,  x₃, ... ,  x_n,  son las incógnitas del sistema.

b₁,  b₂,  b₃,  ... ,  b_m,  son también números reales fijos y se llaman términos independientes. Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es hallar, si existen, los números reales que pueden tomar las incógnitas de modo que se satisfagan a la vez todas las ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números reales  (s₁,  s₂,  s₃,  ...,  s_n), tales que, al sustituir  x₁  por  s₁,  x₂  por  s₂,  x₃  por  s₃, ... ,  x_n  por  s_n  se verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar, en función de sus soluciones, del siguiente modo:

• Compatibles: Tienen al menos una solución. Además, un sistema no puede tener  2,  3,  4, ... , k   soluciones. O tiene una o tiene infinitas. En consecuencia, los sistemas compatibles, pueden ser:

  • Determinados: La solución es única.

  • Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.

• Incompatibles: No admiten ninguna solución.

Un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas se puede escribir en forma matricial del siguiente modo:  A X = B.  La matriz  A  se llama  matriz del sistema, es de dimensión  m x n  y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz  X  es una matriz columna, de dimensión  n x 1,  formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz  B  es otra matriz columna, de dimensión  m x 1,  formada por los términos independientes. Es decir:

Además, se llama matriz ampliada del sistema, que representaremos por  A*,  a la matriz de dimensión  m x (n+1)  que se obtiene a partir de la matriz  A,  añadiéndole la columna formada por los términos independientes, es decir: