Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución del primero lo es también del segundo y, recíprocamente, cada solución del segundo es también solución del primero.

Conviene destacar que dos sistemas de ecuaciones equivalentes no tienen que tener el mismo número de ecuaciones, aunque si es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.

Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), multiplicamos la primera ecuación por 3,  la segunda ecuación por  2  y la tercera por  -1.

Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera.

Criterio 3 (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes, puesto que para pasar del primero (azul) al segundo (rojo), a la segunda ecuación le restamos la primera multiplicada por  3  y a la tercera ecuación le restamos la primera multiplicada por  2.

Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.

Por lo tanto, antes de discutir o resolver un sistema de ecuaciones lineales, es conveniente suprimir las ecuaciones superfluas que se puedan identificar fácilmente, como, por ejemplo:

• Las ecuaciones proporcionales

• Las ecuaciones nulas

• Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la tercera ecuación, que era proporcional a la primera (la tercera ecuación es igual a la primera ecuación multiplicada por 3).

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la segunda ecuación, ya que todos los coeficientes y el término independiente de la misma son nulos.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son equivalentes pues se suprimió la cuarta ecuación, que era la suma de las ecuaciones primera y segunda.

Es obvio, además, que si en un sistema de ecuaciones lineales cambiamos el orden de las ecuaciones, el sistema obtenido es igual al anterior. El sistema tampoco cambia si en todas las ecuaciones del mismo, permutamos el orden de las incógnitas.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó el orden de la ecuaciones primera y tercera.

Ejemplo:    Los siguientes sistemas son iguales, pues sólo permutó, en todas las ecuaciones, el orden de las incógnitas  x  e  y.

La aplicación de estos criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales, facilitará la obtención de otro sistema equivalente al inicial, que sea más sencillo de resolver.