4. problemas métricos
Geometría
 
4.1. ángulo entre dos rectas
El ángulo A que forman dos rectas es el menor de los dos ángulos que determinan. Se puede determinar de dos formas:
1.- En función de sus vectores directores. El ángulo que forman dos rectas r y s es igual al ángulo que forman sus vectores directores u y v

   Pueden ocurrir los siguientes casos:
  • cos (r,s) = 0; el  ángulo de r y s es 90º y por tanto las rectas son perpendiculares
  • cos (r,s)=1; el  ángulo de r y s es 0º y por tanto las rectas son paralelas o coincidentes
  • Si 0<cos (r,s)<1; las rectas r y s son secantes , no perpendiculares
Nota: En el coseno del ángulo que forman dos rectas se toma siempre el valor absoluto, para calcular el ángulo agudo
 
2.- En función de las pendientes. Sean r y s las rectas de pendientes m y m', respectivamente

Pueden ocurrir los siguientes casos:
  • No existe tg(r,s) ó  1 + m m' = 0 ;  el  ángulo de r y s es 90º y por tanto las rectas son perpendiculares
  • tg(r,s) = 0 ó   m= m' ; las rectas son paralelas o coincidentes
  • tg(r,s) pertenece a  R-{0} las rectas r y s son secantes , no perpendiculares
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EJERCICIO 10
1.- Escribe en tu cuaderno las ecuaciones de las rectas en parmétricas y en explicita y calcula el ángulo que forman de las dos maneras explicadas anteriormente .

2.- Comprueba el resultado en la escena.

3.- ¿Cómo son entre ellas las pendientes de dos rectas perpendiculares?

4.- Calcula la recta perpendicular a cada una de las dos rectas de la escena 

4.2. Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos P(x1,y1), Q(x2,y2) es el módulo del vector PQ 
dist(P,Q) = |PQ| = 
 
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EJERCICIO 11

1.- Escribe en tu cuaderno la distancia entre los puntos de la escena con la formúla y comprueba el resultado en la escena. Calcula ahora la hipotenusa del triángulo rectángulo APQ . ¿Cómo son los resultados obtenidos?

2.-Calcula ahora la distancia  PQ.siendo P y Q dos puntos cualesquiera que tu elijas en tu cuaderno y comprueba el resultado en esta escena. 


4.3. Distancia de un punto a una recta
La distancia del punto P(a,b) a la recta r:Ax+By+C = 0 es: dist(P,r)=|PQ1|=|(n*QP)/n| siendo Q1 el punto de intersección de r y la recta perpendicular a r que pasa por P.
n es el vector perpendicular a la recta y Q es un punto cualquiera de la recta. Haciendo operaciones obtenemos la siguiente fórmula

dist(P,r)=
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EJERCICIO 12

1.- Escribe la ecuación implicita de la recta inicial de la escena y calcula utilizando la fórmula la distancia del punto inicial a esta recta y comprueba el resultado en la escena. Comprueba si n es perpendicular a QP y calcula los módulos correspondientes.Calcula ahora la distancia  utilizando la fòrmula anterior, escrita en la escena  

2.- Calcula la distancia de P(3,-1) a la recta que pasa por el punto A(1,2) y tiene como vector director u(3,1), y compruébalo en la escena.

3.-Calcula la distancia del punto P(-2,-3) a la recta y = -2x-7 . Comprueba en la escena el resultado obtenido, y explica porque te sale ese resultado.

4.4. Distancia entre dos rectas
Existen tres casos posibles:

    r y s coincidentes d(r,s)=0
r y s  , secantes d(r,s)=0
r y s paralelas d(r,s) = d(Q1,r)= d(Q,s) siendo Q1 un punto de s u Q un punto de r





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EJERCICIO 13

1.- Escribe las ecuaciones implicitas de las rectas iniciales. Comprueba en tu cuaderno su posición relativa y calcula la distancia entre ellas.Comprueba el resultado en la escena. 

2.- Escribe ebn tu cuaderno otras dos rectas variando los coeficientes A, B y C y calcula la distancia entre ellas.Comprueba el resultado en la escena.

3.-Calcula la distancia entre la recta que pasa por el punto P(-2,-3) y tiene de vector directo  u = (3,1) y la recta  y = (1/3)x-7 . Comprueba, si puedes, en la escena el resultado obtenido.

   
           
  Mª Pilar Muñoz Huertas
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009
 
 

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