POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA     2

3  UN POCO DE HISTORIA. Así lo cuenta Euclides.

Euclides escribió uno de los primeros tratados perfectamente estructurado sobre Matemáticas: ELEMENTOS.

En su libro III trata sobre la circunferencia. En la proposición 36 asegura:

Si se toma un punto fuera de un círculo y de él al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta al círculo y la otra lo toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente.  (Elementos III, 36)

Mueve, pinchando con el ratón, el punto P, el punto C o el punto A.

Comprueba que se cumple siempre la hipótesis de la proposición siempre que el punto P esté fuera del círculo

Para demostrarlo, Euclides consideró dos posibilidades, según que la recta AR pase por el centro o no.

En el caso de que AR pase por el centro O

(sitúa la escena de modo que la recta que une A, R y P pase por el centro de la circunferencia (pincha aquí para ver la escena)

1. Observa que el ángulo CBP es recto ¿por qué?
2. El segmento AR ha sido dividido en dos partes iguales en C.
3. Añadamos RP al segmento anterior

Observa el rectángulo que se puede formar con PA y PR

¿qué es su área?

Nos fijaremos atentamente en ella.

A continuación, Euclides decía que el rectángulo comprendido por PA y PR junto con el cuadrado de CR es igual al cuadrado de CP.

Puedes traducirlo a un lenguaje actual si llamas  d a la distancia CP, y r  a la distancia CA  y CR (el radio).

Así que PA ¿es?  y PR ¿es?  y CR ¿es? Ahora puedes modificar la expresión del rectángulo: PA · PR ¿? y añadirle el cuadrado de CR verás que el resultado es lo propuesto.

Ahora observa que CR y CB son radios de la circunferencia (iguales), así que podemos cambiar el cuadrado de CR por el cuadrado de CB en la afirmación anterior.

Observa el triángulo CBP ¿cómo es? ¿por qué?  

¿qué relación podemos escribir entre los cuadrados de sus lados?

Como verás, puedes igualar la expresión que has obtenido con la que tenías anteriormente. ¿?

De los dos miembros de la igualdad que acabas de escribir puedes restar el cuadrado de CB

¿qué conclusión sacas?

Si la recta que une A, R y P no pasa por el centro C de la circunferencia

Sitúa ahora la escena de modo que la recta que une A  y R sea secante a la circunferencia (pincha aquí para ver la escena)

• Se ha trazado la perpendicular a la secante AR por C (que la corta en D). Observamos el segmento CD.
• También hay que observar  CR, CP y CB.
• Igual que antes, el ángulo CBP es recto.
• El segmento CD, que pasa por el centro, corta perpendicularmente a AR (que no pasa por el centro) y lo divide en dos partes iguales. Razona de alguna manera por qué esto es así. Así que AD es igual que DR.

 

Hacemos ahora un razonamiento parecido al caso anterior:  (Mira en #2 y en #3)

 

¿Puedes extender los razonamientos de la primera parte para demostrar este caso general?

 

Sitúa el punto P en (-8,0) y el punto A de modo que la recta AP pase por el centro de la circunferencia. Comprueba en la figura el teorema de Pitágoras y su relación con la potencia del punto respecto a la circunferencia (ir a la escena).

4  LA SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

Ahora queremos establecer la relación entre la potencia de un punto respecto a una circunferencia y la división de un segmento en sección áurea.

Así que primero veamos lo que pasa en la siguiente escena.

Puedes mover los puntos P y Q en horizontal.

¿Cuánto vale el radio de la circunferencia azul? (es decir OQ)

Ten en cuenta quién es   PC - PA, así puedes calcular OA (que es igual que OQ)

Coge regla y compás:

¿Puedes hacer en tu cuaderno de trabajo la división áurea de un segmento de 9,5 cm. de longitud?

Comprueba que la medida del segmento obtenido coincide (o es suficientemente aproximada) al valor de PA  que indica la escena.

Repite la experiencia con PQ = 20

5  UNA APLICACIÓN DE LA SECCIÓN ÁUREA

Observa la siguiente escena. Con la sección áurea del segmento PQ se ha construido un rectángulo.

Se dice que es el rectángulo de más bellas proporciones que se puede construir, y por ello se le ha bautizado como RECTÁNGULO ÁUREO.

Construye en esta escena un rectángulo con el lado mayor PQ = 8

Observa que, si no modificas la escala, corresponde a 8 cm.

Toma tu D.N.I. y observa que, sin incluir la parte plastificada, se superpone en el rectángulo construido.

Toma otras tarjetas: El carné del Instituto, una tarjeta de crédito, un calendario de bolsillo, tarjetas de visita, fotografías, etc... y comprueba si son rectángulos de oro.

Esta es sólo una pequeña aplicación.

Busca en Internet otras aplicaciones del rectángulo áureo.

Carmelo Borque Ortega

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006.