POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

1  APROXIMACIÓN A LA DEFINICIÓN  

El concepto más sencillo al que se pueden aplicar las ideas de medida, comparación y relación es al segmento rectilíneo determinado por dos puntos.

Recuerda que para determinar la posición relativa de dos puntos, utilizamos el concepto de distancia. Dicha posición la describimos con un número.

Pero claro, dos puntos son iguales y no se distingue entre ellos (en relación a su forma).

Nos preguntamos qué ocurre cuando intentamos determinar la posición entre un punto y una circunferencia

Ahora la forma de los objetos es distinta y debe afectar a la medida de su posición.

Observa la escena adjunta

Mueve los puntos A y B para comprobar que los ángulos en A´ (PA´B) y en B´ (PB´A) son iguales.

¿Recuerdas qué propiedad nos asegura que esos ángulos son iguales?

Mueve el punto P y observa que esos ángulos siguen siendo iguales.

¿Cómo son los triángulos  APB´  y  BPA´ entre sí?

Puedes cambiar el radio y la posición de la circunferencia moviendo los controles de la parte inferior de la escena

¿Qué relación hay entre los lados de esos triángulos?

Perfecto, nos encontramos ante una proporción que seguro que puedes escribir.

Si no ha sido posible, puedes reconocerla en  

Puedes escribirla de otro modo, trasponiendo términos para eliminar los denominadores:

Así que el producto de las distancias desde el punto P a los puntos de corte de una secante a la

circunferencia desde ese punto, ES CONSTANTE.

De ese número diremos que es la POTENCIA del PUNTO  P respecto a la CIRCUNFERENCIA de centro C

2  CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN  

Observa esta escena

Mueve los puntos P y A' con el ratón y la posición y tamaño de la circunferencia con los controles inferiores.

Para situar el punto P en una posición determinada puedes activarlo con el ratón y después desplazarlo con las flechas del teclado.

 Completa en tu cuaderno de trabajo la siguiente tabla:

¿Qué relación hay entre el valor de la potencia y la posición del punto respecto a la circunferencia?.

Observa ahora la recta que une el centro de la circunferencia (C) y el punto P.

Llamemos d  a la distancia entre P y el centro de la circunferencia:  d = dist (P , C). Sea r el radio de esa circunferencia.

Expresa ahora las distancias entre P y A  y entre P y A´:    dist (P , A) =        , dist (P , A´) =

Así que la potencia de P respecto a la circunferencia es:    

Como ves en esta expresión, solo es necesario conocer la distancia entre el punto y el centro de la circunferencia (d) y el radio (r) de la misma.

Carmelo Borque Ortega

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006.