SEGMENTO MÍNIMO
Bloque: Análisis
|
|
SEGMENTO MÍNIMO |
|
Bloque: Análisis |
|
|
|
|
|
EL PROBLEMA |
|
|
Hallar la longitud del menor segmento que pasa por el punto A(2; 1,5) y tiene sus extremos en los semiejes positivos. Antes de abordar el problema utilizando una función que represente la longitud del segmento dependiendo de una variable y hallar los mínimos mediante los instrumentos que proporciona el análisis, crearemos una escena que nos proporcione una aproximación numérica del resultado. La escena es simple de utilizar, moviendo el control del punto P se irán creando segmentos que contienen el punto A. Los valores de Pm y Qm irán cambiando hasta que d(Pm, Qm) alcance el valor mínimo; una vez alcanzado éste, permanecerán invariables. El control P.x se debería utilizar para mejorar el resultado, puesto que con él movemos el punto P de centésima en centésima. |
|
|
|
|
|
Se habrá observado que la longitud del menor segmento coincide con la longitud del mayor panel que podemos transportar por el pasillo. Si antes de realizar las simulaciones hubiéramos pensado con detenimiento, nos habríamos dado cuenta de este hecho y hubiéramos transformado nuestro problema de máximo en un problema de mínimo que podemos resolver mediante las técnicas propias del cálculo de derivadas. Observación: Puede haber una ligera discrepancia entre el resultado obtenido antes y el de ahora; si, por ejemplo, la longitud mínima fuera 4,678..., utilizando la escena de la página anterior hubiéramos obtenido 4,67 y con esta escena, debido al redondeo, 4,68. |
|
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA MEDIANTE DERIVADAS |
|
Haremos el desarrollo analítico del problema del segmento mínimo que tiene sus extremos en los semiejes positivos y pasa por el punto A utilizando como variable la pendiente m de una recta genérica que pase por A. Para no trabajar con decimales, tomaremos como A el punto (4, 3), en vez del (2, 1.5) de la escena, y expresaremos las coordenadas de P(p, 0) y Q(0, q) en función de m. También podríamos utilizar un punto genérico (a, b), pero empecemos por uno concreto.
Una recta genérica que pasa por A tiene de ecuación: y-3 = m(x-4). Sustituyendo y por 0 obtenemos p=4-3/m y sustituyendo x por 0 obtenemos q=3-4m. La función a la que aplicaremos la técnica del cálculo de extremos relativos será la distancia al cuadrado entre P y Q.
igualando a cero y simplificando entre dos, obtenemos la ecuación:
La ecuación anterior tiene dos soluciones, una para m=3/4, que corresponde a la recta que pasa por el punto A y el origen de coordenadas. Esta solución no corresponde con nuestro problema, pues la pendiente de nuestra recta es negativa; y otra para
Este sí que es el valor de la pendiente que hace mínima la distancia entre P y Q. No es necesario que comprobemos que éste es un valor mínimo utilizando la segunda derivada, pues la propia estructura de nuestro problema nos dice que no hay máximo relativo, pero sí mínimo relativo. Calculamos ahora el valor de p y q en función de este valor de m.
Fácilmente se puede intuir que si A(a, b) (y si no, se puede hacer de nuevo todo el desarrollo anterior poniendo a en vez de 4 y b en vez de 3), entonces:
Calculamos la distancia entre P y Q utilizando estas dos últimas expresiones.
desarrollando los cuadrados y agrupando términos, obtenemos:
y por lo tanto:
Si aplicamos las fórmulas anteriores a los datos de nuestra escena, A(2, 1.5), tenemos:
y
Valores aproximados que ya conocíamos de las escenas anteriores. |
|
|
 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Salvador Calvo-Fernández Pérez |
|
|
|
|
|
|
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005 |
||
|
|
||
|
|
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.
