LÍMITE INTINITO EN UN PUNTO ASÍNTOTAS VERTICALES
	Análisis

1. LÍMITE INFINITO EN UN PUNTO
Utilizando el concepto de límite lateral, vamos a ver que se entiende por límite infinito en un punto.
En las siguientes escenas tienes representadas dos funciones reales de variable real. Con el controlador de nombre K puede modificar la recta horizontal del mismo valor. También, nos aparece en el eje de las X un segmento de color verde, que representa el intervalo (a,a+δ) . Dentro de dicho intervalo nos aparece un punto x, el cual se puede desplazar a lo largo del segmento. Ejemplo 1
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.	Si cambias el valor de K verás que el tamaño del segmento varía. Lo interesante es que, sea cual sea el valor que tome K el punto x siempre está dentro del segmento de color  verde, además se cumple que   1.- Al aproximar el punto x a a, ¿qué  ocurre con y K? 2.- ¿Hacia dónde tiende ?

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

3.- ¿Qué  ocurre ahora con y K, cuando aproximamos x a a?, y en este caso, ¿hacia dónde tiende ?

Definición de límite infinito en un punto

En respuesta a la segunda pregunta planteada, decimos que la función   tiende a cuando x tiende a a  por la derecha. En cambio, en el "Ejemplo 2", la función   tiende a  cuando x tiende a a  por la derecha. Más concretamente: Se dice que  tiende a  cuando x  tiende a a por la derecha si, fijado un número real tan pequeño como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si x pertenece al intervalo "situado" a la derecha de a, (a,a+δ), entonces . Se designa por: Se dice que  tiende a  cuando x tiende a a por la derecha si, fijado un número real tan grande como queramos, K, siempre es posible encontrar un número real, δ , tal que, si x pertenece al intervalo "situado" a la derecha de a, (a,a+δ), entonces . Se designa por: De forma análoga, se pueden definir los límites laterales infinitos por la izquierda. Como ejemplo, tenemos que . Como no tiene límite por la izquierda, entonces .

4.- Define en tu cuaderno los límites laterales infinitos por la izquierda de un punto a.

2. ASÍNTOTAS VERTICALES
A partir de las definiciones de límite lateral por la izquierda y por la derecha, y limite infinito en un punto, vamos a ver a continuación que entendemos por una asíntota vertical.
En las siguientes escenas tienes representadas cuatro funciones reales de variable real. Como podéis ver, y según se ha indicado al inicio vamos a utilizar la definición límite lateral y límite infinito en un punto a, aparecen dos controladores, uno de nombre K que hace referencia al límite infinito, y otro de nombre Límites laterales que hacen referencia al límite por la izquierda y al límite por la derecha de en el punto a. respectivamente. Ejemplo 1
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.	Selecciona algún valor del controlador Límites Laterales. Verás que nos aparece en el eje de de las X un segmento de color verde. Dentro de este segmento  nos aparece  el punto  x, el cual se puede desplazar a lo largo de dicho intervalo. Si cambias el valor de K verás que el tamaño del segmento varía. Lo interesante es que, sea cual sea el valor que tome K el punto x siempre está dentro del segmento de color  verde. 1.- ¿Está definida la función en el punto a=2? 2.- Selecciona el valor del controlador Límites laterales que hace referencia al Límite lateral por la derecha. Si hacemos tender x a a, ¿hacia dónde tiende ? 3.- Selecciona ahora el valor del controlador Límites laterales que hace referencia al Límite lateral por la izquierda. En este caso, si hacemos tender x a a, ¿hacia dónde tiende ?

Ejemplo 4

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

En esta escena se ha incluido un nuevo controlador de nombre epsilon, para el estudio del Límite lateral por la izquierda de la función en el punto a. Con este controlador vamos a modificar el valor de ε. Al seleccionar el valor del controlador Límites laterales que hace referencia al Límite lateral por la izquierda, verás que nos aparece en los ejes de coordenadas dos segmentos, uno de color verde en el eje OX y otro de color azul en el eje OY. Dentro del segmento verde nos aparece también el punto  x, el cual se puede desplazar a lo largo del mismo. Lo interesante es que, sea cual sea el valor que tome epsilón, el punto x siempre está dentro del segmento de color verde y a su vez,  se mantiene dentro del segmento azul. 6.- Responde de nuevo las tres preguntas anteriores aplicadas a este caso.

3. EJERCICIOS
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.	1.- Apoyándote en la escena, calcular los límites de la función en x=-1 y x=0. SOLUCIÓN: En primer lugar, es preciso determinar el dominio de la función: En este caso, tenemos que: Esto significa que no existe ni Por tanto: . La función tiene una asíntota vertical en x=0.
2.- Calcula el límite en x=2 de la siguiente función: 3.- Calcular 4.- Calcular, si existe, el límite en x=0 de la función: Escribe la ecuación de la asíntota vertical de la función anterior. 5.- Calcula la asíntotas verticales, si las hay de las siguientes funciones:

	Mª del Carmen Torres Alonso
	© Ministerio de Educación. Año 2011

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