REPTILES
Geometría en el arte de M.C. Escher

1. DEL HEXÁGONO A UN REPTIL
Segunda regla para la construcción de mosaicos de Escher.

Para construir la pieza básica, se recorta un trozo de figura en un lado y con centro en un vértice se gira y se añade dicho trozo en otro lado. Los giros son de 60║ o 120║, y los vértices de giro no pueden ser consecutivos.

1.- A la vista del mosaico "Reptiles" de la página referida a la partición periódica del plano, intenta describir los pasos que hay que dar para obtener un reptil a partir de un hexágono regular.
Pulsando el botón animar puedes ver el proceso completo.
En naranja y parpadeantes aparecen los centros de giro seleccionados.

2.- Diseña tu propio mosaico utilizando la segunda regla de construcción.

3.- Utiliza la regla para diseñar piezas sobre otros polígonos que no sean  hexágonos.

4.- ┐Qué margen de libertad existe a la hora de encajar las piezas obtenidas si sólo se recorta en un lado?


2. EL MOSAICO
Un mosaico se forma a partir del principio general de repetición de un elemento o pieza básica trasladado en dos direcciones diferentes. Los diferentes tipos de mosaicos surgen al añadir a este principio general condiciones específicas de regularidad y acoplamiento.

5.- Deduce cómo se tendrán que encajar los reptiles hallados, teniendo en cuenta la forma de obtenerlos.

6.- Identifica en el mosaico cuál puede ser el motivo que se desplaza en dos direcciones diferentes para formar el mosaico.

7.- Deduce qué otros movimientos están implicados en la formación del mosaico.

8.- ┐Qué ocurre si los ángulos de giro son diferentes a 60║ o 120║?

9.- Investiga sobre diseños realizados sobre cuadrados.

Si el polígono original es un triángulo, cuadrilátero o pentágono que recubra el plano, se pueden formar mosaicos de Escher haciendo girar el trozo recortado de un lado, con centro de giro uno de los vértices y ángulo 90║, y pegando esta parte recortada sobre otro lado.

3. LOS MOVIMIENTOS IMPLICADOS
Para poder acoplar las piezas, debido a la forma de construirlas, éstas no pueden estar todas en la misma posición. Es necesario por tanto recurrir a la geometría dinámica para conocer cómo tienen que ir dispuestas.

9.- Construye en papel, siguiendo las indicaciones de la primera actividad, las piezas que forman reptiles. Indaga que movimientos necesitas para formar el mosaico.

Pulsando el botón animar puedes observar cómo se forma el motivo básico que luego se desplaza en dos direcciones.

10.- Busca en el mosaico de la actividad anterior otras posibilidades de movimiento de la primera pieza, de manera que produzca otro motivo mínimo que tras las correspondientes traslaciones recubran el plano.


4. LAS DIRECCIONES DE TRASLACIÓN
Una vez obtenido un motivo mínimo, fruto de acoplar las primeras piezas, el resto del mosaico se obtiene desplazando este motivo sobre dos direcciones diferentes.

11.- Deduce qué dos direcciones son las que determinan el mosaico.

12.- Determina los vectores que rigen las correspondientes traslaciones.

13.- Compara las direcciones y los vectores con los lados y dimensiones del hexágono de partida.

Puedes observar el resultado pulsando el botón animar.

14.-┐Pueden existir ejes de simetría, de manera que podamos obtener una pieza del mosaico a través de una reflexión de otra pieza fija del mismo mosaico?

Enrique Martínez Arcos
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001

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