	FUNCIÓ LOGARÍTMICA
	Definició i propietats

1. DEFINICIÓ DE LA FUNCIÓ y = log_a(x)

Donats dos nombres reals positius a i x, amb (a≠1), el logarítme en base a de x és l'exponent y al qual hem d'elevar la base a perquè el resultat sigui x:

Per tant, podem considerar que el logaritme és l'operació inversa de l'exponencial.

D'aquesta manera, la funció logarítmica és del tipus f(x)=log_a(x), en què a és un nombre real positiu (a<0) i diferent de 1 (a≠1). És la funció inversa de la funció exponencial.

1.- Recorda que les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrants, és a dir, la recta y=x és l'eix de simetria. En aquesta escena, s'utilitza aquesta propietat per a construir la gràfica de la funció logarítmica a partir de la gràfica de la funció exponencial.

Fixat un valor de la base a, fes variar x per a representar la funció logarítmica de base a. Cada cop que canviïs de base, prem el botó netejar.

Quin és el problema quan a=1? Per què no hi ha funció logarítmica?

2.- Amb l'ajut de l'escena, emplena la taula de valors següent.

x	0.001	0.05	0.1	0.99	1	2	3	100
log₂(x)
log_1/2(x)
log₃(x)
log_1/₃(x)

3.-Què passa quan x=1? Per què?

4.-Per què la funció logarítmica queda representada en els 1r i 4t quadrants?

2. GRÀFICA I PROPIETATS DE LA FUNCIÓ y = log_a(x)

La gràfica de la funció logarítmica depèn de la base a.

Fes variar el control de la base a i observa les gràfiques. Amb el botó rastre (r=1) pots veure la variació de la corba en funció del valor de a. Si elimines el rastre (r=0), fent variar el control x, pots veure com el punt es desplaça per sobre la corba amb les seves coordenades.

Utilitza la simetria per a comprovar que les funcions logarítmiques:

1.-Per a valors de la base a>1, la funció y=log_a(x) és una funció creixent; i si 0 < a <1, aleshores és una funció decreixent.

2.-Totes les funcions logarítmiques passen pel punt (1,0). Per què?

3.-Activa el rastre (r=1) per a deduir com afecta l'augment o la disminució de la base a sobre la gràfica de les funcions logarítmiques.

4. Les funcions logarítmiques tenen asímptotes?

5. Com són les funcions logarítmiques de base a i 1/a?

Propietats de la funció logarítmica:

y=log_a(x)	0 < a < 1	a>1
	passa pel punt (1,0) i pel punt (a,1)
	el seu domini són els reals positius
	és decreixent	és creixent
	x=0 asímptota vertical (per la dreta)

3. TRANSLACIONS DE LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA.

Les funcions y=log_a(x)+h són de tipus logarítmic. Són iguals que la funció y=log_a(x), i les obtenim traslladant la gràfica y=log_a(x) verticalment, h unitats cap amunt si h és positiu, i h unitats cap avall si és negatiu.

Les funcions y=log_a(x+k) són també de tipus logarítmic. Són iguals que la funció y=log_a(x), i les obtenim traslladant aquesta gràfica horitzontalment, k unitats cap a l'esquerra si k és positiu, i k unitats cap a la dreta si és negatiu.

1.-Comprova-ho en l'escena. Observa el desplaçament del punt (1,0).

Fes variar el valor de a, de k i de h amb els corresponents polsadors o bé pots escriure directament el valor que desitgis i prémer intro. Si ho necessites pots moure els eixos o canviar l'escala. També pots activar el rastre (r=1) per veure com varia la funció i quan canviïs de base, prem netejar.

2.-Després d'haver practicat una mica, intenta esbrinar l'expressió de cada una de les funcions representades en la imatge següent, sabent que les bases utilitzades són a=2 i a=1/2.

4. CASOS PARTICULARS: LOGARITME NEPERIÀ y=ln(x) i LOGARITME DECIMAL y=log(x)

Les funcions logarítmiques més importants són:

Logaritme Natural o Neperià: la base és el nombre e i la seva notació y=ln(x) o també y=L(x). (log(x) per l'aplicatiu Descartes)

Logaritme Decimal: la base és 10 i la seva notació és y=log(x). (y=log10(x) per l'aplicatiu Descartes).

Vegem la seva representació gràfica i propietats.

Pots fer variar el valor de x amb el corresponent polsador o bé pots escriure directament el valor que desitgis i prémer intro. També pots activar el rastre (r=1) per veure com el punt recórrer la funció. Amb el botó tipus log pots alternar el tipus de funció logarítmica.

1.-Comprova que les funcions logarítmiques y=ln(x) i y=log(x), compleixen totes les propietats de les funcions logarítmiques amb base a>1.

2.-Per què passen pel punt (e,1) o (10,1) segons correspongui? I ambdues, passen pel punt (1,0)?. Per què?

	Joan Carles Fiol Colomar

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.