Funciones y rectas

Séptima Actividad: Ecuación general de la recta. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

   I.- En la primera parte de esta séptima y última actividad vamos a ver como una recta en el plano que se expresa mediante una ecuación de forma explícita cuando se asocia a una función afín (y = m.x + n) puede expresarse igualmente mediante lo que se conoce como "ecuación general o implícita" (más adelante aprenderás que hay otros tipos de ecuaciones de la recta).

   Además, con ayuda de la siguiente escena podrás comprobar que una ecuación explícita corresponde a una infinidad de ecuaciones generales de la forma ax + by + c = 0.

   Así, dadas, por ejemplo, las rectas de ecuación: a) y = 2x - 3, b) y = -x +1, c) y = 3x + 2, d) y = -3x + 5 determina, con ayuda de la escena, las ecuaciones generales que les corresponden, fijando el valor del coeficiente "a" en 1, -1 y 2, por ejemplo.

   Repite el ejercicio con otras ecuaciones explícitas de la recta y fijando distintos valores de los coeficientes "a", "b" y "c".

   ¿Qué puedes decir sobre el valor y el significado de los coeficientes "b" y "c" cuando a = 1? ¿Y sobre los coeficientes "a" y "c" cuando b = 1?

Toma nota en tu cuaderno de los resultados que obtengas

   II.- Para terminar utilizaremos los resultados del apartado anterior para iniciarnos en la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. Nos limitaremos aquí al caso más sencillo: sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. En este caso cada una de las dos ecuaciones del sistema tiene la forma ax + by = c, que inmediatamente recuerda la forma general de la recta ax + by + c = 0.

   Por tanto, para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas procederemos del siguiente modo:

1) Cada una de las ecuaciones del sistema la expresamos de la forma ax + by - c = 0 y con ayuda de la primera escena encontramos la forma explícita equivalente.

(NOTA: puede ser conveniente tomar dos decimales para los parámetros "m" y "n" de la primera escena en este ejercicio, para ello asignar el valor 2 al control "Ndec")

2) Asignar a los controles "m1", "n1", "m2" y "n2" los valores correspondientes a los coeficientes de las dos ecuaciones explícitas obtenidas en el punto anterior.

3) Arrastrar el punto amarillo hasta que coincida con la intersección de las dos rectas. La escena nos proporciona así las coordenadas de dicho punto de intersección y, por tanto, la solución del sistema.

   Siguiendo el procedimiento indicado resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

   Puedes resolver primero el sistema algebraicamente en tu cuaderno y luego de modo gráfico con ayuda de la escena. Así podrás comprobar el resultado previamente obtenido.

   Resuelve gráficamente con ayuda de la escena otros sistemas de ecuaciones lineales que ya hayas realizado cuando estudiaste en clase los sistemas de ecuaciones lineales. ¿Crees que el procedimiento puede generalizarse a sistemas de dos incógnitas con un mayor número de ecuaciones?

   Finalmente, trata de resolver gráficamente estos dos últimos sistemas. ¿Cómo puedes interpretar su resultado?

Toma nota de tus conclusiones en el cuaderno

INSTRUCCIONES SOBRE EL MANEJO DE LA ESCENA 1) Las ecuaciones de las rectas tienen que estar en forma explícita. Introduce los valores de las pendientes y las ordenadas en el origen de ambas rectas. 2) El punto móvil (control gráfico gris con borde rojo) se desplaza sobre la primera recta. Arrástralo hasta que coincida con el punto de intersección de las dos rectas. 3) Cuando el punto móvil coincide con el punto de intersección aparece el mensaje ¡Solución!. Pueden presentarse pequeños errores por problemas de aproximación. 4) Para visualizar el punto de intersección con mayor precisión puede hacerse uso del Zoom y de los controles de desplazamiento de los ejes (O.x, O.y).

 

   Francisco José de Juan Remolina-2007