Transformaciones de funciones:
Simetrías
4º ESO B.
 
1.Simetría horizontal y=-f(x)

La cuenta corriente

La siguiente tabla representa el saldo acreedor de una determinada cuenta corriente

Tiempo (días) 

1

  2  3 4  5 6
Saldo acreedor (miles de euros)   

 2  

  2.3    3.1 0.5    -0.2 -0.5

Representa la tabla desde el punto de vista la persona que guarda el dinero en el banco.

Representa la  misma tabla desde el punto de vista del banco.

  • En este apartado vamos a comparar las gráficas de las funciones y = f(x)  y = -f(x) .

En la escena se muestra la gráfica de la función f(x)=x3 +3x2 -1 en azul y en rojo la función f(x)=-x3 - 3x2 +1

1.1 Mueve el punto naranja a lo largo de la función.¿Qué observas?

1.2 ¿Hay algún punto que tenga la misma imagen en las dos gráficas? 

1.3¿Qué tipo de simetría representan las gráficas de f(x) y -f(x)? 

 

1.4 Modifica en la escena las funciones y=f(x), y=-f(x) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x)  i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Compara cada función con su opuesta

Las funciones f(x) y -f(x) son simétricas respecto del eje de abcisas

2.Simetría vertical y=f(-x)

La piscina

Queremos llenar una piscina de dimensiones 50m x 25m x 2m mediante unas tuberías que vierten 1000 litros de agua por minuto.

Haz una tabla de valores que represente la altura que alcanza el agua en función del tiempo transcurrido (cada hora).

Una vez que se acaba de  llenar la piscina viene un gracioso y nos pregunta por la altura que faltaba por cubrir hace tres horas. Respóndele como se merece y haz una tabla que represente dicha altura en el tiempo pasado.

Representa gráficamente  en unos mismos ejes las dos tablas de valores. ¿Qué observas?

  • En este apartado vamos a comparar las gráficas de las funciones y = f(x)  y = f(-x) .

En la escena se muestra la gráfica de la función f(x)=x3 +3x2 -1 en azul y en rojo la función f(x)=(-x)3 + 3(-x)2 -1

2.1 Mueve el punto naranja a lo largo de la función.¿Qué observas?

2.2 ¿Hay algún punto que tenga la misma imagen en las dos gráficas? 

2.3¿Qué tipo de simetría representan las gráficas de f(x) y f(-x)? 

2.4 Modifica en la escena las funciones y=f(x), y=f(-x) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x) i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Compáralas

Las funciones f(x) y f(-x) son simétricas respecto del eje de ordenadas

3. Simetría respecto del origen y=-f(-x)   

  • En este apartado vamos  a comparar las gráficas de las funciones y = f(x)  y = -f(-x) .

A partir de lo visto antes, está claro que se van a producir dos simetrías simultáneas, una vertical y otra horizontal; en consecuencia se va a producir una simetría respecto del origen de coordenadas.

En la escena se muestra la gráfica de la función f(x)=x3 +3x2 -1 en azul y en rojo la función f(x)=-((-x)3 + 3(-x)2 -1)

3.1 Mueve el punto naranja a lo largo de la función.¿Qué observas?

3.2 ¿Hay algún punto que tenga la misma imagen en las dos gráficas? 

3.3¿Qué tipo de simetría representan las gráficas de f(x) y f(-x)? 

3.4 Modifica en la escena las funciones y=f(x), y=-f(-x) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x) i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Compáralas

3.5 ¿Qué relación hay entre las funciones y=-f(x), y=f(-x)?

Las funciones f(x) y -f(-x) son simétricas respecto del origen de coordenadas

4. Simetría respecto de la diagonal del primer cuadrante (recta y=x)  y=f(x)    x=f(y)
Sabemos que la función logaritmo se puede definir como la función inversa de la exponencial, y que sus gráficas son simétricas. ¿Sucede esto siempre?
  • En este apartado vamos  a comparar las gráficas de las funciones y = f(x)  y = f-1(x) 
 

4.1 Mueve el  punto amarillo y comprueba la simetría de ambas funciones

4.2 Observa en la escena que la gráfica del logaritmo es la reflexión "simétrica" de la gráfica de la exponencial con respecto a la recta y=x.
 

4.3 Modifica en la escena las funciones y=f(x), x=f(y) mediante:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x) i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Compáralas

4.4 Comprueba lo que sucede si escribes y=f(x),  y=f-1(x) 

Las funciones y=f(x) y y=f-1(x)  son simétricas respecto de la diagonal del primer cuadrante (y=x)

5. Funciones valor absoluto  y=½f(x)½     

  • En este apartado vamos  a comparar las gráficas de las funciones y = f(x)  y=½f(x)½
5.1 Modifica en la escena la función y=x3+3x2  escribiendo su valor absoluto, con la notación: y=abs(x3+3x2+3x2 )

5.2 Repite el proceso con las funciones y=f(x),  siguientes:

a)f(x)=x   b)f(x)=x2    c)f(x)=1/x    d)f(x)=ex    g)f(x)=ln(x)   h)f(x)=sen(x) i)f(x)=cos(x)      j)f(x)=tan(x)

Desde el punto de vista gráfico el valor absoluto de una función se obtiene transformando la parte negativa de la función y=f(x) en positiva

       
           
  José Luis Ramón Pérez (2004)
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004
 
 

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