Decimos que una función f pertenece a la familia de las funciones exponenciales si se puede expresar analíticamente de la forma:                          

La expresión anterior no resulta la más apropiada para nuestros propósitos: la relación entre las gráficas de esta familia y los movimientos del plano; es por ello que consideraremos que una función es de esta familia si es de la forma:

Esta última expresión no es exactamente equivalente a la anterior, pues los casos en los que k < 0 no están contemplados aquí. La justificación de esto último no es del todo inmediata.

En primer lugar, si observamos la gráfica de la función y = 2^x en la escena situada al pie de este texto, vemos que esta función tiene como recorrido el intervalo (0, +oo), por lo tanto para todo número positivo d existe un número real D tal que:  d = 2^D. De esta forma k . a^x + c = 2^K . (2^A)^x + c = 2^{K + Ax} + c, para ciertos K y A números reales. A partir de aquí es evidente que ambas expresiones son equivalentes siempre que k > 0.

Para el estudio de la representación gráfica de esta familia de funciones, utilizaremos en este caso como función base

y = 2^x

 cuya gráfica podemos observar en la siguiente escena.

31. Bajo las mismas condiciones del ejercicio anterior, representa las siguientes funciones:

       a. y = 4^x                  b. y= (0,5)^x                 c. y = (0,25)^x

32. ¿Mediante qué tipo de movimiento en el plano podemos pasar de la gráfica y = 2^x  

a la gráfica y =  (1/2)^x?

¿Y de y = 2^ax a y= ((1/2)^a)^x?

33. Mantén fijo ahora el parámetro a (siendo c = 0), y varía el parámetro b, ¿qué movimiento en el plano está teniendo lugar?.

34. ¿Podríamos pasar mediante un movimiento como el anterior de la gráfica de la función base a la de las funciones:             

               a. y = 2.2^x      b. y = 4. 2^x       c. y = 0,5 . 2^x     ?

(Nota: Modifica las expresiones analíticas anteriores para poder hacer su representación gráfica según los parámetros de la escena).

35. Para un valor de a y b determinados, modifica ahora el valor de c, ¿qué movimiento el plano está teniendo lugar ahora?. ¿Cómo se ve afectada la asíntota horizontal? ¿Y el recorrido?

36. ¿Podríamos pasar directamente, mediante un solo movimiento, de la gráfica de una función del tipo

y = 2^ax a una del tipo y = 2^a·(x-b) + c?. ¿Y, según todo lo visto anteriormente, de la función base a otra del tipo

y = k . 2^x + c, con k > 0?

37. Describe de forma precisa qué movimientos debemos realizar en el plano para pasar de la gráfica de la función base a la gráfica de las siguientes funciones:

                    a. y = 8. 2^x - 3             b. y = 0,25. 2^x + 1

¿Se podría hacer lo mismo, empleando únicamente movimientos, con las funciones del ejercicio 31?             

Para su definición vamos primeramente a demostrar que dados a > 0, a# 1 e y > 0 números reales, existe un número real x tal que: a^x = y.

Como ya sabemos por el apartado anterior existen b y c números reales tales que

2^b = a  y  2^c = y.

Por lo tanto

 y = 2^c = 2^c.b/b = (2^b)^c/b = a^c/b.

Tomando x = c/b, tenemos que a^x = y, y diremos que x es el logaritmo en base a de y, y lo escribiremos por log_a (y).

Por lo tanto, a partir de su definición, diremos que x = log_a (y) si y sólo si  a^x = y.

Así por ejemplo: log₂ (4) = 2,  log₁₀ (1000) = 3 o log_1/2 (8) = -3.

Si a = 10 escribiremos log (x) en lugar de log₁₀(x).

¿Cómo seria la gráfica de la función y = log_a (x) ?

Por la definición de logaritmo vemos que (x,y) es un punto de la gráfica de la función si y sólo si (y,x) es un punto de la función exponencial de base a. Debido a esta propiedad se dice que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial, o viceversa.

¿Qué movimiento en el plano lleva un punto (x,y) a otro punto de coordenadas (y,x)?. Como ya sabemos del curso pasado, este movimiento es una simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante, es decir a la recta y = x. En general, este movimiento nos permite pasar de la gráfica de una función dada a la de su función inversa

De esta forma, la gráfica de la función y = log_a (x) se puede obtener a partir de la gráfica de y = a^x.

38. Si realizáramos una simetría con respecto a la recta y = x sobre la gráfica de la función y = 1/x, ¿qué gráfica obtendríamos? ¿A que crees que es debido esto? ¿Cuál sería la función inversa de esta función?

39. ¿Y si realizáramos la simetría anterior sobre la función y=raíz (x)? ¿Puedes justificar el resultado anterior? ¿Cuál sería su función inversa?

40. ¿Y si lo hiciéramos sobre la gráfica de la función y = x² obtendríamos la gráfica de una función? ¿A qué crees que es debido esto? ¿Significa esto que la función y = x² no posee inversa?

                                                        f(x) = log(a (x-b)) + c, con a b y c números reales.

16. Fijando los parámetros b y c nulos, y modificando el parámetro a, ¿qué observas con respecto a la función base cuando a>0? ¿Qué ocurre cuando a es negativo? (Nota: Observa como varía el dominio de la función según el signo de a)

17. ¿Mediante qué tipo de movimiento en el plano podemos pasar de la gráfica y = log (x)  

a la gráfica y =  log (-x)?

¿Y de y = log (a·x) a y= log (-a·x)?

18. Mantén fijo ahora el parámetro a (siendo c = 0), y varía el parámetro b, ¿qué movimiento en el plano está teniendo lugar? ¿Cómo influye este movimiento en el dominio de la función?

19. Para un valor de a y b determinados, modifica ahora el valor de c, ¿qué movimiento el plano está teniendo lugar ahora?

20. ¿Podríamos pasar directamente, mediante un solo movimiento, de la gráfica de una función del tipo

y = log (a·x) a una del tipo y = log (a·(x-b)) + c?

21. Modifica libremente los parámetros, ¿qué relación existe entre el dominio de la función y su expresión analítica?

22. Describe de forma intuitiva qué transformaciones debemos realizar en el plano para pasar de la gráfica de la función base a la gráfica de las siguientes funciones, realizando las modificaciones apropiadas en su expresión analítica cuando sea necesario:

                    a. y = log (2·x)             b. y = log (-x) + 3             

                    c. y = log (2x + 8)         d. y= log (-x + 4) - 2

¿En qué casos se trataría únicamente de movimientos?