CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

Cardinalidad de conjuntos

I. Aplicaciones

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una correspondencia entre ellos tal que a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B. Cuando un elemento de B es asociado a un elemento de A, diremos que es su imagen.

Las aplicaciones se clasifican en:

Inyectivas: No hay dos imágenes iguales.

Sobreyectivas: Todo elemento del conjunto final B es imagen.

Biyectivas: Cada elemento de B es imagen de un único elemento de A.

1.- Modifica los valores de las imágenes y de los elementos de A y B y observa razonadamente qué tipo de aplicación se obtiene. Contrástalo con la definición.

2.- Intenta relacionar los tipos de aplicaciones con el número de elementos de A y B.

II. Cardinal de un conjunto

Dos conjuntos se dicen equipotentes cuando es posible establecer una aplicación biyectiva entre ellos.

3.- En la siguiente escena puedes variar la cantidad de elementos de cada conjunto. Se presentan del mismo color los que son equipotentes.

¿Qué conclusión obtienes con respecto del número de elementos de dos conjuntos equipotentes?

Diremos que dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando sean equipotentes. Asociaremos un símbolo común a todos los conjuntos que tengan el mismo cardinal.

Así, a los conjuntos equipotentes al conjunto vacío les asociaremos el símbolo 0; a los equipotentes a un conjunto unitario, el símbolo 1; al cardinal de un conjunto binario es 2; el de uno ternario, 3; etc.

III. El primer cardinal transfinito:

El cardinal del conjunto N de los números naturales se denota por el símbolo (alef sub cero*). Todos los conjuntos equipotentes a N se dice que son numerables.

4.- Puedes comprobar que el conjunto Z de los números enteros es numerable (tiene el mismo cardinal que N). Observa la aplicación siguiente: es biyectiva.

Como ves, para comprobar que un conjunto es numerable basta con definir un procedimiento para enumerar sus elementos: el primero será la imagen del 0, el segundo será la imagen del 1, el tercero será la imagen del 2, ...

5.- Observa el siguiente procedimiento para enumerar los elementos del conjunto Q de los números racionales: en él usamos sólo los elementos irreducibles y suprimimos los demás (ya que son repetidos) para poder construir la biyección. Así, también Q es numerable (tiene el mismo cardinal que N). Basta seguir el orden de las flechas de izquierda a derecha.

3 4 5 6 7 ' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> 1 1 1 1 1 ' decimales=0"> 3 4 5 6 7 ' decimales=0"> 4 6' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> ___ ___ ' decimales=0"> 2 2 2 2 2 ' decimales=0"> 2 2' decimales=0"> 3 4 5 6 7 ' decimales=0"> 6' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> ___' decimales=0"> 3 3 3 3 3 ' decimales=0"> 3' decimales=0"> 3 4 5 6 7 ' decimales=0"> 4 6' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> ___ ___' decimales=0"> 4 4 4 4 4 ' decimales=0"> 4 4' decimales=0"> 3 4 5 6 7 ' decimales=0"> 5' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> ___ ' decimales=0"> 5 5 5 5 5 ' decimales=0"> 5' decimales=0"> 3 4 5 6 7 ' decimales=0"> 6' decimales=0"> ___ ___ ___ ___ ___ ___ ...' decimales=0"> ___' decimales=0"> 6 6 6 6 6 ' decimales=0"> 6' decimales=0"> flecha=rojo ancho=1"> flecha=rojo ancho=1"> flecha=rojo ancho=1"> flecha=rojo ancho=1"> flecha=rojo ancho=1"> 1 ' decimales=0"> 2 ' decimales=0"> 3' decimales=0"> 4' decimales=0"> 5' decimales=0"> 6' decimales=0"> 7 ' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 1' decimales=0"> 3' decimales=0"> 5' decimales=0"> 7' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 2' decimales=0"> 2' decimales=0"> 2' decimales=0"> 2' decimales=0"> 1' decimales=0"> 2' decimales=0"> 4' decimales=0"> 5' decimales=0"> 7' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 3' decimales=0"> 3' decimales=0"> 3' decimales=0"> 3' decimales=0"> 3' decimales=0"> 1' decimales=0"> 3' decimales=0"> 5' decimales=0"> 7' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 4' decimales=0"> 4' decimales=0"> 4' decimales=0"> 4' decimales=0"> 1' decimales=0"> 2' decimales=0"> 3' decimales=0"> 4' decimales=0"> 6' decimales=0"> 7' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 5' decimales=0"> 5' decimales=0"> 5' decimales=0"> 5' decimales=0"> 5' decimales=0"> 5' decimales=0"> 1' decimales=0"> 5' decimales=0"> 7' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> ___' decimales=0"> 6' decimales=0"> 6' decimales=0"> 6' decimales=0">

(*) Primera letra del alfabeto hebreo.

F. Zotes

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