La potencia del continuo

La potencia del continuo

Vamos a ver ahora que el conjunto de los números reales R no es numerable. Para verlo, nos centraremos en el intervalo (0,1). Usaremos la representación en binario de sus elementos.

Supongamos que existe una biyección f de N en (0,1):

f(0)=0'a₁₁a₁₂...a_1n...

f(1)=0'a₂₁a₂₂...a_2n...

. . . . . . . . . . . . . . . . 

f(n)=0'a_n1a_n2...a_nn...

. . . . . . . . . . . . . . . .

(aquí todos los a_ij son 0 ó 1).

Consideremos el número real 0'a₁a₂...a_n... donde a_i es 1 si a_ii=0, ó  a_i es 0 si a_ii=1 (se trata de coger los decimales de la diagonal y cambiarlos todos). Este número no puede estar en la lista anterior porque es diferente de todos sus elementos, y sin embargo está en el intervalo (0,1).

Por lo tanto, no puede haber tal biyección (se nos escapa algún número): (0,1) no es numerable.

6.- La escena siguiente muestra una biyección entre la recta real R y el intervalo (0,1). Observa cómo se relacionan los puntos P y Q.

De R diremos que su cardinal es w₀ o que tiene la potencia del continuo.

7.- La siguiente biyección muestra que también el plano (y por tanto el conjunto C de los números complejos) tiene la potencia del continuo. ¿Eres capaz de deducir cómo se obtiene la imagen en R de un punto del plano?

8.- Observa que este procedimiento nos lleva a que el cardinal de un minúsculo segmento es el mismo que el de todo el espacio R³ (y, en general de todo Rⁿ ). Es decir, podemos establecer una aplicación punto a punto entre un segmento y Rⁿ.

Hay muchos conjuntos aún más grandes que, conteniendo a R estrictamente, tienen otra potencia aún mayor...

F. Zotes

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