ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR UNA FUNCIÓN  
Análisis
 
1. Área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva.
Vamos a hallar el área de recintos limitados por la gráfica de una función positiva, el eje de abcisas y  dos rectas verticales. Antes de comenzar el cálculo de la integral definida que nos proporciona el área, conviene disponer de una representación del correspondiente recinto, que nos permitirá identificar los límites de integración e interpretar correctamente el valor de la integral definida. En la primera escena estudiamos el caso en que la función es continua y positiva en todo el intervalo de integración.

 

Para desplazar las rectas verticales puedes  arrastrar los puntos a y b sobre el eje OX con el ratón, o bien, cambiar los valores en los controles correspondientes.

1.- Calcula el área del recinto R limitado por la gráfica de la función f(x)=x2+1, las rectas x=a y x=b y el eje de abcisas. Modifica los valores de a y b y observa cómo varía el valor del área.

2.- Dibuja en tu cuaderno un esbozo de la gráfica de la función f(x)=x4-2x2+2 y obtén el área comprendida entre f(x), las rectas x=-2/3, x=2 y el eje de abcisas.
2. Área del recinto limitado por una función negativa.
Cuando la función es continua y negativa en todo el intervalo [a,b], de modo que la gráfica de la función f(x), las rectas x=a, x=b  e y=0 determinan en el plano un recinto situado debajo del eje de abcisas, el valor de la integral definida en ese intervalo es negativa, pero su valor absoluto coincide con el área del recinto.

Para desplazar los segmentos verticales, puedes hacerlo como en la escena anterior.

3.- En la escena, obtén el área del recinto R limitado por la gráfica de la función f(x)=sen(x)-2, las rectas x=-π/2y x=3π/2 y el eje de abcisas. Modifica los valores de a y b y observa cómo varían el valor de la integral definida y el valor del área.

4.- Halla el área de la región limitada por f(x)=-x2-2x-1 y el eje de abcisas entre x=0  y x=2.

3. Área del recinto limitado por una función que toma valores positivos y negativos en subintervalos de [a,b].
Cuando la función f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a,b], su gráfica determina con el eje OX varias regiones. En este caso el área del recinto no viene dada por la integral definida entre a y b. Habrá que identificar el signo de la función en cada uno de los subintervalos y, de forma análoga a como se hizo en las dos actividades anteriores, hallar el área de cada una de las regiones correspondientes y luego sumarlas.

 

 

Puedes  arrastrar los puntos a y b sobre el eje OX con el ratón, o bien, cambiar los valores en los controles correspondientes.

5.- Usando esta escena, halla el área de la región encerrada entre el eje OX y la función f(x)=x3-6x2+8x. Compara el área de los dos recintos y anota en tu cuaderno una forma sencilla para calcular el área total con una sola integral cuando se observa alguna simetría en la figura. Aplícalo para calcular el área entre x=1 y x=3.

6.- Calcula el área comprendida entre el eje de abcisas y la función f(x)=x3-2x.

7.- Halla el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)=cos(x) y el eje de abcisas entre x=0  y x=2π
       
           
  Juan Antonio Forte Polo
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2008