L'exemple més senzill d'equació de segon grau sense solucions reals és, possiblement, l'equació x² + 1 = 0. Si la resolem, trobem:

L'arrel de menys u es designa amb la lletra i, i es coneix com a unitat imaginària. Amb aquesta nomenclatura, podem dir que el conjunt de solucions de l'equació x² + 1 = 0 és {-i, i}. Si tenim en compte que, per exemple,  es pot escriure com , tenim ja una forma d'expressar totes les solucions de qualsevol equació de segon grau. Per exemple:

La suma d'un nombre real i un nombre imaginari rep el nom de  nombre complex. Els nombres complexos són de la forma
p + q·i, amb p i q reals, i es representen com punts del pla de coordenades (p, q).

En l'escena adjunta es mostra la gràfica de la funció f(x)=ax²+bx+c. Modifica els valors dels paràmetres a, b i c, i observa els canvis que es produeixen en el nombre i valor de les arrels de la funció.

Observa com es passa sense solució de continuïtat de les arrels reals a les imaginàries i viceversa.

4.1.- Representa successivament en l'escena les dues situacions analitzades en la introducció d'aquesta activitat i reprodueix en el teu quadern les gràfiques. Planteja i resol les equacions que permeten obtenir les arrels de cada una d'elles.

        a) f(x) = x² + 1            b) f(x) = x² - 2x + 5

4.2.- Repeteix-ho amb les funcions:

        a) f(x) = 4x² + 8x + 5        b) f(x) = x² - 6x + 11

4.3.- Troba funcions que tinguen com a arrels:

        a) 1 - i  i  1 + i        b) -4 - 2i  i  -4 + 2i

Les funcions polinòmiques de tercer grau tenen almenys una arrel real. Coneguda una d'elles, r, podem expressar la funció com a producte de dos factors:

Les arrels de ax² + b'x + c' poden ser nombres reals o no, però en qualsevol cas seran arrels de la funció f, així que podrem aplicar el que hem treballat en l'activitat anterior.

La gràfica que apareix en l'escena correspon a una funció cúbica. Es pot modificar el valor de l'arrel r desplaçant directament el punt sobre l'eix d'abscisses o, alternativament, utilitzant les fletxes de cursor. Els valors de a, b i c romandran constants.

També has d'observar quin efecte produeixen sobre la gràfica de la funció i sobre les arrels, els canvis en els valors de a, b i c.

5.1.- Resol de manera algebraica l'equació x³ - 4x² + x + 6 = 0 i representa la situació en l'escena. Anota el procés i les conclusions en el teu quadern i fes el mateix amb l'exercici següent.

2.2.- Resol de manera algebraica l'equació x³ - 4x² + 9x - 10 = 0 i representa la situació en l'escena.