PUNTOS SINGULARES
Análisis
 

Diremos que una función y=f(x) tiene un PUNTO SINGULAR en xo cuando f'(xo)=0

En este caso sabemos que la tangente a la curva en xo es horizontal.

También has visto que dependiendo del signo de f''(xo) puede haber un máximo o un mínimo relativo, pero que si f''(xo) es 0, a su vez, quizás haya un punto de inflexión.

Entonces, ¿qué ocurre cuando las derivadas sucesivas se anulan en xo?

EJEMPLO 1

Observa la escena donde está representada la función y=x4-1 que como puedes ver, alcanza un mínimo en x=0

  • La derivada y'=4x3 se anula en x=0
    la derivada segunda y''=12x2 también se anula en x=0 y la derivada tercera y'''=24x ; siendo la derivada cuarta la primera distinta de cero y además positiva.

Cambia el valor de x en la escena y podrás comprobarlo. Después da a FUNCIÓN valor 2, se dibujará y=1-x4, ¿cómo se comporta en x=0?. Cambia de nuevo el valor de x.

  • Observa que en ambos casos la primera derivada que no se anula en x=0 es de orden PAR

Si la primera derivada que no se anula en xo es de orden PAR, f tendrá un máximo ó un mínimo en xo según sea ésta negativa o positiva.

EJEMPLO 2

Observa la escena donde está representada la función y=x5. Como puedes ver en el gráfico f tiene en x=0 un punto de inflexión

  • Observamos que la derivada y'=5x4 se anula en x=0,
    la derivada segunda y''=20x3 también se anula en x=0 y la derivada tercera y'''=60x2 y la cuarta; siendo la derivada quinta la primera distinta de cero.

Cambia el valor de x y podrás comprobarlo en la escena.

  • Observa que la primera derivada que no se anula en x=0 es de orden IMPAR

Si la primera derivada que no se anula en xo es de orden IMPAR, f tendrá en xo un punto de inflexión.

       
           
  María José García Cebrian
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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