TEOREMAS DEL CALCULO DIFERENCIAL
TEOREMA DE ROLLE:
Escena 1.
En este apartado vamos a tratar de deducir, de forma práctica, un hecho geométrico intuitivamente evidente: Las condiciones que permiten asegurar la existencia de puntos en una función cuya derivada sea cero.
En la siguiente
escena se puede estudiar la derivada de la función en cada punto arrastrando los puntos P
y Q con el puntero del ratón. 
ACTIVIDAD 1.-
Estudia la función que se representa en la escena gráfica y completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
| Intervalo | Coord. y del primer punto | Coord. y del segundo punto | Puntos con derivada 0 | ¿Es continua en [] ? | ¿Es derivable en ( )? |
| [A.x,B.x] | |||||
| [C.x,D.x] | |||||
| [E.x,F.x] | |||||
| [G.x,H.x] |
ACTIVIDAD 2.-
Observa los datos de la tabla y deduce las condiciones que nos permiten estar seguros de la existencia de puntos con derivada igual a 0. Para ello puedes completar la tabla siguiente y escribir un enunciado que recoja las conclusiones a las que has llegado.
Respecto de la continuidad |
Respecto de la derivabilidad |
Respecto de los valores en los extremos |
| En [a,b] la función deber ser ........ | En (a,b) la función debe ser ........ | f(a) debe ser ............. a f(b) |
Escena 2.
Enunciado del Teorema de Rolle:
Si - f es continua en un intervalo cerrado [a,b] - f derivable en el intervalo abierto (a,b) - f(a)=f(b), podemos asegurar que Entonces Existe algún punto c mayor que a y menor que b para el cual se cumple que f ' (c) = 0 |
UTILIZA ESTA ESCENA GRÁFICA PARA REALIZAR LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES:
ACTIVIDAD 3.-
Comprueba que en el intervalo [-0.71, 1.65] se cumple el Th. de Rolle. ¿En qué punto se anula la derivada?.
ACTIVIDAD 4.-
Encuentra un intervalo en el que se cumple el Th. de Rolle y que contiene más de un punto en el que se anula la derivada.
ACTIVIDAD 5.-
Busca un intervalo en el que la función no sea derivable en uno de sus extremos pero en el que se cumplan las hipótesis del Th. de Rolle.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Escena 3.
Pretendemos comprobar que cuando una función cumple unas condiciones concretas siempre es posible encontrar una recta tangente a una curva que tenga la misma pendiente que la de una cuerda de la curva:
ACTIVIDAD 6.-
Comprueba, para algunos valores de a y b, que en la función de la escena gráfica siempre se encuentra un punto P en el que la pendiente de la recta tangente (derivada de la función en el punto P) en ese punto es igual a la de la cuerda de origen A y extremo B y completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
[a,b] |
 |
punto P | f '(P.x) |
Escena 4. :
ACTIVIDAD 7.-
Si a=1.02 y b=2.5 ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por esos puntos? ¿Puedes encontrar un punto interior al intervalo en el que la recta tangente tenga la pendiente de AB? ¿Por qué?
Siguiendo un proceso semejante al de la actividad 2 encuentra un enunciado para este teorema semejante al siguiente::
Enunciado del Teorema del Valor Medio
Si - f es continua en un intervalo cerrado [a,b] - f derivable en el intervalo abierto (a,b) Entonces Existe algún punto c mayor que a y menor que
b para el cual se cumple que
|
Escena 5. : APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO:
En la siguiente escena se pueden obtener varios intervalos en los que se cumplen las condiciones exigidas en el Teorema del Valor Medio.
ACTIVIDAD 8.- Función CRECIENTE.
f continua en [a,b] y derivable en (a,b) |
| Si f '(x) > 0 en todo (a,b), entonces f es CRECIENTE en [a,b] |
a) Busca dos intervalos distintos en los que la función sea creciente
b) ¿Qué condición se cumple para que la función sea decreciente?. Encuentra un intervalo en el que la función se decreciente.
ACTIVIDAD 9.- Función CONSTANTE
f continua en [a,b] y derivable en (a,b) |
| Si f '(x) = 0 en todo (a,b), entonces f es CONSTANTE en [a,b] |
a) Encuentra un intervalo en el que la función sea constante . Comprueba cuál es el valor de la derivada en él.
b) Dibuja en tu cuaderno una función por trozos que tenga al menos un intervalo creciente, otro decreciente y otro constante.
ACTIVIDAD 10.- Criterio para determinar los máximos y los mínimos relativos
Busca un punto máximo y otro que sea mínimo y comprueba que satisfacen los siguientes criterios.
| (a,c) | (c,b) | Punto |
| f ' > 0 | f ' < 0 | Máximo |
| f ' < 0 | f ' > 0 | Mínimo |
Este criterio presenta alguna ventaja sobre este otro : f '=0 y f'' < 0 entonces máximo. Escribe en tu cuaderno alguna razón para justificar esta afirmación.
