Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. En el caso de las ecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones son los puntos de su recta asocida, por lo tanto dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son equivalentes si se representan con la misma recta.

1.- Busca ecuaciones que sean equivalentes pero no idénticas, es decir que la recta naranja y la blanca se superpongan sin que sean iguales los coeficientes.

2.- Intenta encontrar un método fácil para resolver la actividad anterior.

3.- Escribe en el cuaderno cómo son los coeficientes de las ecuaciones equivalentes. ¿Y y si uno o más coeficientes son nulos?

Hay infinitas ecuaciones equivalentes a una dada, todas ellas tienen sus coeficientes proporcionales:

a/a' = b/b' = c/c' (si a'¹0, b'¹0, c'¹0)

si algún coeficiente es cero también será nulo el que le corresponde en todas sus ecuaciones equivalentes.

4.- Observa que las ecuaciones equivalentes tienen sus coeficientes proporcionales.

5.- Analiza las ecuaciones equivalentes en los siguientes casos:

a) Cuando la recta es horizontal.

b) Cuando la recta es vertical.

c) Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas.

d) Cuando es horizontal o vertical y además pasa por el origen de coordenadas.

La condición necesaria y suficiente para que dos ecuaciones lineales: ax+by=c y a'x+b'y=c' sean equivalentes es que sus coeficientes sean proporcionales, es decir que: a'=m.a; b'=m.b; c'=m.c (para algún m ¹ 0).

6.- Comprueba el teorema anterior utilizando las ecuaciones y las rectas y explica en el cuaderno cómo lo haces en cada uno de los casos:

a) Comprueba que la condición es necesaria, es decir, si las ecuciones son equivalentes (representan la misma recta), entonces sus coeficientes son proporcionales.

b) Comprueba que la condición es suficiente, es decir, que si dos ecuaciones tienen sus coeficientes proporcionales, entonces son equivalentes (representan la misma recta).