Semejanza:
Aplicaciones del teorema de Thales a los triángulos.
Geometría
 
4. Uso del teorema de Thales en el estudio de los triángulos.

En la siguiente escena tenemos un triángulo ABC. Por un punto B', situado sobre uno de los lados del triángulo, hemos trazado una paralela al lado BC, la cual corta al otro lado en C'. Observemos que ahora tenemos un segundo triángulo, el AB'C'. Nos preguntamos si hay alguna relación entre los dos triángulos.

Arrastra el vértice C con el ratón, para cambiar la forma del triángulo inicial.

Habrás observado:

Toda paralela a uno de los lados de un triángulo determina con los otros dos lados un nuevo triángulo, cuyos lados son proporcionales a los del primero.

Actividad 9.

Esta relación entre los lados de ambos triángulos es una consecuencia del teorema de Thales. En efecto:

  1. Pulsa el botón 'Inicio' para volver la escena al principio. Aplicando el teorema de Thales desde el vértice A obtenemos:

    AB'/AB = AC'/AC

  2. Con el ratón arrastra el punto B' hasta hacerlo coincidir con el punto B. Si ahora volvemos a aplicar el teorema de Thales desde el vértice B obtenemos:

    AB'/AB = B'C'/BC

  3. Como las dos proporciones anteriores coinciden en el primer miembro, obtenemos el resultado buscado:

    AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC

Actividad 10.

Volvamos al inicio de la escena (botón 'Inicio').
Los ángulos correspondientes de ambos triángulos son iguales. ¿Puedes justificar esta afirmación?

Resumiendo las conclusiones de las actividades 9 y 10 tenemos que:

Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos lados un nuevo triángulo AB'C' y se cumplen las dos condiciones siguientes:

  1. Sus lados respectivos son proporcionales.
  2. Sus ángulos respectivos son iguales.

Como éstas son las condiciones que han de cumplir dos polígonos para ser semejantes, podemos concluir que:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados un nuevo triángulo semejante al primero.

       
           
  José Luis Bernal Garcías
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001