En este capítulo y en los siguientes vamos a estudiar las propiedades de los límites en relación con las operaciones aritméticas básicas cuando alguno de los límites que intervienen es infinito.

"Sean f y g dos funciones con límite infinito en el punto a. Entonces la función f+g también tiene límite infinito en el punto a".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su suma. La línea verde horizontal representa una cota, K, que la función f+g debe superar cuando x está cerca del punto a. La línea gris horizontal representa la cota K/2 que las funciones f y g deben superar cerca del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Selecciona un valor para K. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que K/2. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Con el mismo valor de K que en el apartado anterior averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) es también mayor que K/2. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de (f+g)(x) y K?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez mayores.

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de K es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es mayor que K/2 y g(x) también, por lo tanto para esos valores de x (f+g)(x) será mayor que K.

En otras palabras, el límite de f+g cuando x tiende al punto a es infinito.

"Sean f y g dos funciones: f con límite infinito en el punto a y g con límite finito en a (llamaremos b a ese límite). Entonces la función f+g también tiene límite infinito en el punto a".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su suma. La línea verde horizontal representa una cota, K, que la función f+g debe superar cuando x está cerca del punto a. La línea roja horizontal representa una cota inferior de la función g(x) en las cercanías del punto a. La línea gris horizontal representa la cota K-m que la función f debe superar cerca del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a. El parámetro p permite que podamos hacer que la función g(x) se desplace verticalmente, con lo que b puede tomar el valor que queramos.

1.- Modificando el valor de p elige qué límite quieres para la función g(x). Como sugerencia prueba a contestar a todas las cuestiones siguientes haciendo que b tome un valor negativo, un valor positivo y cero. Una vez que has fijado el valor de p (y por tanto el de b y la función g(x)) halla un valor de m que sea una cota inferior de g(x) en las cercanías del punto a. Una vez hallado ese valor averigua para qué valor de d podemos asegurar que si x está entre las dos líneas azules, entonces g(x) es mayor que m. Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor m? ¿Por qué?

2.- Selecciona ahora un valor de K. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que K-m, siendo m el valor obtenido en el apartado anterior. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de (f+g)(x) y K?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez mayores.

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de K es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces g(x) es mayor que una cierta constante m y f(x) es mayor que K-m, por lo tanto para esos valores de x (f+g)(x) será mayor que K.

En otras palabras, el límite de f+g cuando x tiende al punto a es infinito.

Ejercicios.

¿Qué sucederá en el caso de que tanto f como g tiendan a menos infinito? ¿Y en el caso de que f tienda a menos infinito y g a una constante? Razona las respuestas.