"Sean f y g dos funciones con límite en el infinito, respectivamente b y c. Entonces la función f+g tiene límite en el infinito y vale b+c".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su suma. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto b+c. Las líneas grises horizontales representan entornos de radio e/2 alrededor de los puntos b y c respectivamente. La línea azul vertical representa un número real K a partir del cual queremos que las tres funciones queden totalmente contenidas en los respectivos entornos mencionados antes.

1.- Selecciona un valor para e. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad f(x) dista de b menos que e/2. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Con el mismo valor de e que en el apartado anterior averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad g(x) dista de c menos que e/2. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que K tome el valor más grande de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está a la derecha de la recta vertical azul ¿qué puede afirmarse de la distancia entre (f+g)(x) y b+c?

4.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente desigualdad:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número K, tal que si x es mayor que K entonces entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e/2 y la distancia entre g(x) y c también, por lo tanto la distancia entre (f+g)(x) y b+c es menor que e.

En otras palabras, el límite de f+g cuando x tiende a infinito es b+c.

"Sean f y g dos funciones con límite en el infinito, respectivamente b y c. Entonces la función fg también tiene límite en el infinito y vale bc".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su producto. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto bc. Las líneas grises horizontales representan entornos de radio e/2m y e/2b alrededor de los puntos b y c respectivamente, siendo m una cota de la función g(x) en un cierto entorno de a (en nuestro caso m=6). La línea azul vertical representa un número real K a partir del cual queremos que las tres funciones queden totalmente contenidas en los respectivos entornos mencionados antes.

1.- Averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad g(x) está acotada por cierto valor m (en nuestro caso debes suponer m=6). Anota el valor de K obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Selecciona un valor de e. Ampliando la imagen y desplazándola a la derecha si fuera preciso averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad f(x) dista de b menos que e/2m, siendo m el valor del apartado anterior. Anota el valor de K obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Con el mismo valor de e que en el apartado anterior averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad g(x) dista de c menos que e/2b. Anota el valor de K obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

4.- Haz ahora que K tome el valor más grande de los tres que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está a la derecha de la recta vertical azul ¿qué puede afirmarse de la distancia entre (fg)(x) y bc?

5.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente cadena de desigualdades:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número K, tal que si x es mayor que K, entonces, |g(x)| es menor que m, la distancia entre f(x) y b es menor que e/2m y la distancia entre g(x) y c es menor que e/2b. Por lo tanto, la distancia entre (fg)(x) y bc es menor que e.

En otras palabras, el límite de fg cuando x tiende al punto a es bc.

"Sea f(x) una función con límite en el infinito igual a b y b distinto de cero. Entonces la función 1/f(x) también tiene límite en el infinito y vale 1/b".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: La función de color amarillo es f. La función de color turquesa es su inversa. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto 1/b. Las líneas rojas horizontales representan cotas superiores e inferiores de la función f(x) en un entorno del punto a. Las líneas grises horizontales representan un entorno de radio bme alrededor del punto b. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Amplia la escala considerablemente (por lo menos a 200) y desplázate hacia la derecha o hacia arriba cuando lo necesites, cambiando los valores de O.x y O.y. Modifica el valor de m hasta conseguir una cota inferior de f(x) que sea positiva. Una vez conseguido, halla algún valor K para el que se cumpla que si x es mayor que K, f(x) es mayor que m con toda seguridad. Anota el valor de K obtenido. ¿Es siempre posible hallar un tal valor de m por muy pequeño que sea b? Razona la respuesta. Para los valores de x que quedan a la derecha de K ¿se cumple con toda seguridad que la distancia entre 1/f(x) y 1/b es menor que e ?

2.- Selecciona un valor de e. Ampliando la imagen más aún y desplazándote si fuera preciso averigua para qué valor de K se cumple que si x es mayor que K, con toda seguridad f(x) dista de b menos que bme, siendo m el valor del apartado anterior. Anota el valor de K obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor K que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que K tome el valor más grande de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está a la derecha de la recta vertical azul ¿qué puede afirmarse de la distancia entre 1/f(x) y 1/b?

4.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente cadena de desigualdades:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número K, tal que si x es mayor que K, entonces, |f(x)| es mayor que m>0 y la distancia entre f(x) y b es menor que |b|me. Por lo tanto, la distancia entre 1/f(x) y 1/b es menor que e.

En otras palabras, el límite de 1/f(x) cuando x tiende al punto a es 1/b.

"Sea f(x)=k una función constante. El límite de f(x) en el infinito es k".

Es decir

Haz que x aumente tanto como quieras. ¿A quién se aproxima f(x)?

Las siguientes afirmaciones son consecuencia directa de las propiedades anteriores. Demuéstralas como ejercicio:

Como has podido comprobar las propiedades de los límites con respecto a las operaciones elementales son las mismas ya sea cuando x tiende a un punto a o cuando x tiende a infinito, por lo tanto, a partir de ahora no haremos distinciones entre estas dos posibilidades.