En los capítulos anteriores hemos analizado el comportamiento de los límites finitos e infinitos en relación con las cuatro operaciones básicas: suma, resta, producto y cociente. A no ser que hayas sido poco observador, habrás notado que no hemos analizado todos los casos posibles. En concreto los casos que no hemos analizado son los siguientes:

• En el caso de límites finitos, el límite del cociente de dos funciones que tienden a cero.
• En el caso de la suma de límites infinitos, el límite de la suma de dos funciones una de las cuales tiende a más infinito y la otra a menos infinito.
• En el caso del producto de límites infinitos, el límite del producto de dos funciones una de las cuales tiende a cero y la otra a infinito.
• En el caso del cociente de límites infinitos, el límite de un cociente de dos funciones que tienden a infinito.

La razón por la que no hemos analizado esos casos es muy simple: en esos cuatro casos no hay una pauta general, es decir, al calcular cualquiera de esos cuatro tipos de límites podemos obtener los resultados más dispares dependiendo de las funciones con las que trabajemos. Por eso decimos que estos límites son indeterminados.

Esto no quiere decir que cuando nos encontremos ante una de estas situaciones no pueda calcularse el límite. Lo que significa la afirmación anterior es que en esas cuatro situaciones no existe un procedimiento general para calcular esos límites y habrá que buscar métodos particulares para cada una de ellas. De hecho, las distintas técnicas y los distintos métodos de cálculo de límites que se estudian en bachillerato van orientados a resolver la mayor cantidad de casos que pertenecen a alguno de estos tipos de indeterminaciones.

Cada uno de los caso antes mencionados reciben de forma tradicional el nombre de indeterminaciones. Para simplificar estas indeterminaciones se denominan: indeterminaciones del tipo 0/0, indeterminaciones del tipo ¥-¥, indeterminaciones del tipo 0*¥ e indeterminaciones del tipo ¥/¥ respectivamente.

A continuación pasamos a describir cada uno de esos tipos.

En toda esta página consideraremos dos funciones f(x) y g(x) con límite cero en un cierto punto a.

Es decir

Infinitésimos.

Se dice que una función, f(x), es un infinitésimo en un punto a si

Todas las funciones que aparecen en los ejemplos anteriores son infinitésimos en el punto a. Desde el punto de vista intuitivo un infinitésimo es una función que se aproxima a cero tanto como queramos sin más que aproximar x al punto a.

Una de las cuestiones más interesantes en el estudio de los infinitésimos es su comparación. Comparar dos infinitésimos nos permite averiguar cuál de los dos se acerca a cero más rápidamente y este conocimiento puede ser muy útil en otros cálculos. Asimismo el saber que dos funciones muy diferentes tienden a cero a la misma velocidad en las cercanías de un punto nos permite que bajo ciertas condiciones podamos sustituir una por otra en nuestros cálculos y de esa manera simplificarlos. El procedimiento para comparar dos infinitésimos en un punto a consiste en calcular el límite de su cociente cuando x tiende al punto a. Este procedimiento nos permite establecer la siguiente clasificación:

En todo lo que sigue supondremos que f(x) y g(x) son dos infinitésimos en un mismo punto a, es decir.

• Diremos que g(x) es un infinitésimo de orden superior a f(x) en el punto a si
  
  

  Ésta es la situación que se verifica en las tres primeras gráficas de esta página. Intutivamente, esto significa que aunque ambos términos de la fracción tienden a cero, el denominador lo hace más rápidamente que el numerador, por lo que a pesar de que ambos se van haciendo cada vez más pequeños, el cociente se hace cada vez más grande, a medida que la x se acerca al punto a.
  
  

• Diremos que f(x) y g(x) son infinitésimos del mismo orden en el punto a si
  
  

  Ésta es la situación que se verifica en la cuarta gráfica de esta página para todos los valores de t, excepto para los que hacen que el límite valga uno o cero. Intutivamente, esto significa que ambas funciones tienden a cero a velocidades parecidas, aunque no totalmente equivalentes.
  
  

• Diremos que f(x) y g(x) son infinitésimos equivalentes en el punto a si
  
  

  Ésta es la situación que se verifica en la quinta gráfica de esta página. Intutivamente, esto significa que ambas funciones tienden a cero a la misma velocidad, por lo que en las cercanías del punto a los valores de f(x) y los de g(x) son aproximadamente iguales. Este hecho es de una gran importancia en numerosas ocasiones en los que sustituir f por g simplifique los cálculos.
  
  

• Diremos que f(x) es un infinitésimo de orden superior a g(x) en el punto a si
  
  

  Ésta es la situación que se verifica en la sexta gráfica de esta página. Intutivamente, esto significa que aunque ambos términos de la fracción tienden a cero, el numerador lo hace más rápidamente que el denominador, por lo que el cociente se hace cada vez más pequeño, a medida que la x se acerca al punto a.