PARÁBOLA 3
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA
Dada una recta r: Ax+By+C=0 y un punto V(Vx,Vy) hallar la ecuación, el foco y el eje de la parábola de directriz r y vértice V y representarla gráficamente.

La siguiente escena nos sitúa en el contexto adecuado. Para la resolución analítica del problema hay que tener en cuenta que el eje es la recta que pasa por V y es perpendicular a la directriz "r". Si D es el punto de corte del eje y la directriz, F se calcula observando que V es el punto medio de D y F. Hallaremos p sabiendo que dicho parámetro es la distancia del foco "F" a la directriz "r". La ecuación se obtendrá aplicando la definición foco-directriz de parábola. Varía los valores de los controles numéricos y observa el resultado.
1.-Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena Vx=1, Vy=2, A=1, B=1 y C=-1.

2.-Resuelve el problema para  Vx=1, Vy=2, A=0, B=1 y C=-1.

3.-Resuelve el problema para Vx=1, Vy=5, A=0, B=1 y C=-8.

4.-Resuelve el problema para los valores Vx=-1, Vy=5, A=1, B=0 y C=4.

5.-Resuelve el problema para los valores Vx=-1, Vy=5, A=1, B=0 y C=-1.

6.- ¿Qué ocurre si el punto V pertenece a la recta r?. Pon un ejemplo.

2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada una recta vertical x=k (horizontal y=k) y una circunferencia (x-x0)2+(y-y0)2=r2 demostrar que, si la recta es exterior o tangente a la circunferencia, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas es una parábola y dos parábolas si la recta y la circunferencia son secantes. Hallar la gráfica y los elementos característicos del lugar.

La siguiente escena nos permite visualizar el lugar geométrico pedido. El control numérico recta v./h. nos da una recta vertical x=k cuando su valor es 0, y una recta horizontal y=k cuando toma el valor 1. La distancia d de un punto P(x,y) a una circunferencia es, en valor absoluto, la diferencia entre la distancia del punto al centro de la circunferencia y su radio, es decir, d=|Ö((x-x0)2+(y-y0)2)-r|. La distancia de un punto P(x,y) a una recta de la forma x=k (y=k) es d´=|x-k| (d´=|y-k|). El lugar geométrico pedido y sus elementos característicos vendrán dados por la resolución de la ecuación d=d´y su posterior identificación con una ecuación de la forma (y-y0)2=2p(x-V1) o (y-y0)2=-2p(x-V2) ((x-x0)2=2p(y-V1) o (x-x0)2=-2p(y-V2)). El vértice será V(V1,y0) o V´(V2,y0) (V(x0,V1) o V´(x0,V2)). Teniendo en cuenta que p es la distancia del foco a la directriz y que el vértice equidista de ambos, la directriz será x=V1-p/2 o x=V2+p/2 (y=V1-p/2 o y=V2+p/2).
1.-Resuelve analíticamente el problema para los valores iniciales de la escena (k=-4, x0=2, y0=0, r=4, recta v./h.=0).
El control numérico recta v./h. aparece en la parte superior de la escena.

2.-Lo mismo para los valores k=4, x0=2, y0=0, r=4, recta v./h.=0.

3.-Lo mismo para los valores k=0, x0=1, y0=3, r=3, recta v./h.=1.

4.-Lo mismo para los valores k=-3, x0=2, y0=-5, r=4, recta v./h.=1.

3. PRÁCTICA TERCERA
Dados el foco F(Fx,Fy) y el vértice V(x0,y0) de una parábola hallar su ecuación, el eje, la directriz y representarla gráficamente.

La siguiente escena nos sitúa en el contexto adecuado. Para la resolución analítica del problema hay que tener en cuenta que el eje es la recta que pasa por V y F. La directriz es la recta perpendicular al eje que pasa por Q, siendo Q un punto tal que V es punto medio de él y de F. El parámetro p es la distancia entre el foco y la directriz o, lo que es lo mismo, el doble de la distancia entre el foco F y el vértice V. La ecuación de la parábola se obtendrá aplicando la definición foco-directriz. Varía los valores de los controles numéricos y observa el resultado.

1.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena. (Fx=1, Fy=2, x0=0, y0=1).

El botón inicio restaura los valores iniciales de la escena.

2.- Resuelve el problema para los valores  Fx=1, Fy=3, x0=1, y0=2.

3.- Resuelve el problema para los valores Fx=1, Fy=5, x0=0, y0=5.

4.- Resuelve el problema para los valores Fx=2, Fy=5, x0=4, y0=5.

5.-¿Qué ocurre si los puntos F y G coinciden?. Pon un ejemplo.
       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002
 
 

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