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HIPÉRBOLA 3 |
| Bloque: Geometría | |
| 1. PRÁCTICA PRIMERA | ||
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un punto P(P.x,P.y) y una hipérbola de ejes paralelos a los de
coordenadas, centro C(x0,y0) y
semiejes a y b, hallar la posición relativa del punto
P respecto a la hipérbola.
Varía los valores de los controles numéricos de la escena x0, y0, a, b y mueve el punto P arrastrándolo con el ratón (o variando los controles numéricos P.x y P.y). En los textos de la escena observa cómo varía |PF-PF´| según la posición de P. Los focos F y F´ tienen de ordenada y0 y de abscisas x0+c y x0-c respectivamente, siendo c la semidistancia focal (c2=a2+b2). |
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1.- Resuelve
el problema analíticamente para los valores iniciales
de la escena ( x0=4,
y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=5.0 y P.y=5.0).
En el primer miembro de la ecuación de la elipse sustituye x e
y por los valores de P.x y P.y y compáralo con
1.
2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=4, y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=10.0 y P.y=5.0 3.- Igual que antes para los valores x0=4, y0=2, a=3.0, b=4.0, P.x=7.0 y P.y=2.0 |
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4.- A la vista de los apartados anteriores escribe dos criterios diferentes para estudiar la posición relativa de un punto y de una hipérbola. 5.- Elige una hipérbola cualquiera y un punto exterior a ella (por ejemplo, para los valores iniciales de la escena). Observa la escena y justifica cada paso de la siguiente cadena de igualdades/desigualdades: PF´-PF=MF´-PM-PF=MF´-(PF+PM)<MF´-MF=2a. Relaciónalo con los apartados anteriores. |
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| 2. PRÁCTICA SEGUNDA | ||
| Dada una
recta r: Ax+By+C=0 y una
hipérbola de ejes paralelos a los
ejes coordenados, centro C(x0,y0) y
semiejes a y b, hallar la posición relativa de la recta
r y de la hipérbola.
Una recta, respecto de una hipérbola, puede ser exterior, si no tiene puntos comunes con ella; secante, si tiene dos puntos comunes; y tangente si tiene un punto en común (punto doble). El sistema formado por las ecuaciones de la hipérbola y de la recta es un sistema de segundo grado cuya discusión siempre da lugar a una de las situaciones anteriores. |
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1.- Estudia la posición relativa de la hipérbola y de la recta correspondientes a los valores iniciales de la escena. Halla los puntos comunes si existen.
2.-Lo mismo que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=5. 3.-Resuelve la práctica para x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=-4. 4.-Para la hipérbola inicial elige tres rectas horizontales (dando valores a A, B y C) de manera que sean exterior, secante y tangente respectivamente. |
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| 3. PRÁCTICA TERCERA | |||
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Dados los números a
y c consideremos la circunferencia C de centro F´(-c,0)
y radio 2a, es decir, C: (x+c)2+y2=(2a)2.
Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias C´que
son tangentes a C y pasan por el punto F(c,0)
"cuando F es exterior a C".
La siguiente escena nos dibuja el
lugar geométrico pedido sin más que variar los valores de los
controles numéricos a y c
de la escena y arrastrar el punto P. Para la resolución analítica del problema, si C´: (x-x0)2+(y-y0)2=r2 es la circunferencia cuyo centro Q(x0,y0) describe el lugar geométrico que buscamos, hemos de tener en cuenta que como C´pasa por F(c,0), se tiene que (c-x0)2+y02=r2 (*) y, como C y C´son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es igual a la suma entre sus radios, es decir, Ö((x0+c)2+y02)=2a+r (**). Eliminando r entre las ecuaciones (*) y (**) se obtiene la ecuación del lugar. |
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1) Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (a=3, c=5).
2) ¿Qué lugar geométrico se obtendrá para a=4 y c=5?.
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| Javier de la Escosura Caballero | ||
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002 | ||
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