Dados los puntos C(x0,y0) y P(x1,y1) y un número e (e>1), hallar la ecuación, vértices y focos de la hipérbola de centro C y eje focal paralelo al eje de abscisas, que pasa por P y tiene excentricidad e.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos una hipérbola de la forma (x-x0)²/a²-(y-y0)²/b²=1 (*) en la que hay que hallar a² y b² . Para ello haz que el punto P verifique (*), es decir, (x1-x0)²/a²-(y1-y0)²/b²=1 (**). A partir de la relación fundamental de la hipérbola  c²=a²+b² y de la expresión de la excentricidad e=c/a, se obtiene la ecuación en a² y b², b²=a²(e²-1) (***). La resolución del sistema (**) y (***) nos permite finalmente obtener a² y b². Los vértices V y V´ tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y F´ tienen de abscisa x0+c y x0-c y de ordenada y0.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de no existencia de solución. Dados el centro C(x0,y0) y la excentricidad e de la hipérbola, la región de color gris indica que el problema no tiene solución si el punto P pertenece a ella. Cuando P no pertenece a dicha zona gris, el problema tiene solución y ésta puede verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y utiliza ayuda para encontrar puntos P con solución y puntos P sin solución. 

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=0, y0=0, x1=3Ö2, y1=4.0, e=5/3.

Dadas los puntos C(x0,y0) y P(x1,y1) y el número real k, hallar la ecuación, los focos y los vértices de la hipérbola de centro C(x0,y0) y eje focal coincidente con el eje de abscisas, que pasa por P y tiene a las rectas r: y-y0=k(x-x0) y r´: y-y0=-k(x-x0) por asíntotas.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos una hipérbola de la forma (x-x0)²/a²-(y-y0)²/b²=1 (*) en la que hay que hallar a² y b² . Para ello haz que el punto P verifique (*), es decir, (x1-x0)²/a²-(y1-y0)²/b²=1 (**). La relación entre la pendiente (k y -k) de las asíntotas y a y b es k²=b²/a² (***). La resolución del sistema (**) y (***) nos permite finalmente obtener a² y b². Los vértices V y V´ tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y F´ tienen de abscisa x0+c y x0-c y de ordenada y0.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de no existencia de solución. Dados el centro C(x0,y0) y la pendiente k, la región de color gris y gris claro indica que el problema no tiene solución si el punto P pertenece a ella. Cuando P no pertenece a dicha zona gris, el problema tiene solución y ésta puede verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y utiliza ayuda para encontrar puntos P con solución y puntos P sin solución. 

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=0, y0=0, x1=8, y1=4Ö3, k=1.

De una hipérbola de centro C(x0,y0) y eje focal coincidente con el eje de abscisas se conoce el semieje real a (a>0) y el ángulo A que forman las asíntotas. Hallar la ecuación, los focos, los vértices y las asíntotas de dicha hipérbola.

La siguiente escena nos dibuja las hipérbolas solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos hipérbolas de la forma (x-x0)²/a²-(y-y0)²/b²=1  en las que hay que hallar b²  (a es un dato). Puesto que y-y0=b/a(x-x0) e y-y0=-b/a(x-x0) son las ecuaciones de las asíntotas, u=(a,b) y v=(a,-b) son vectores directores de ellas. Como el ángulo que forman las asíntotas es conocido (Aº), los vectores directores verificarán cosA =|u·v|/|u|·|v|, es decir, cosA =|a² -b²|/(a² +b²). La resolución de esta ecuación nos da dos soluciones para b². 

Los vértices V y V´ tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y F´ tienen de abscisa x0+c y x0-c  y de ordenada y0, donde c verifica c²=a²+b².

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado. 

1) Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (x0=3, y0=1, a=4, Aº=60).

El botón inicio restaura los valores iniciales.

2) Resuelve el problema analíticamente para los valores de la escena  x0=3, y0=1, a=4 y Aº=90. ¿Qué tipo de hipérbola se obtiene?.