Circunferencia 3
Bloque: Geometría
 
1. PRÁCTICA PRIMERA

Dadas dos circunferencias c: x2+y2+Ax+By+C=0 y c´: x2+y2+Mx+Ny+L=0 estudiar su posición relativa y hallar los puntos de intersección cuando existan.

 

La siguiente escena nos permite visualizar la solución. Varía los valores de los controles numéricos y observa las gráficas y los textos que aparecen en la escena.

La discusión del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de c y c´ origina la discusión de una ecuación de segundo grado según sea el signo de su discriminante. 

a) Discriminante negativo: las circunferencias son exteriores o interiores. 

b) Discriminante cero: las circunferencias son tangentes (exteriores o interiores). La resolución del sistema nos da el punto de corte.

c) Discriminante positivo: las circunferencias son secantes. Las soluciones del sistema son los puntos de corte. 

Para saber la posición relativa de las dos circunferencias sin necesidad de discutir el sistema formado por sus ecuaciones (o para distinguir los dos subcasos de a) y b) se pueden comparar los valores d, r+r´ y    | r-r´|, siendo d la distancia entre los centros C y C´de las circunferencias c y c´ y r y r´sus radios respectivos.

1.-Resuelve el problema analíticamente y compara los valores de d, r+r´ y | r-r´| en los siguientes casos:

2.-. A=0, B=0, C=-9, M=-12, N=0 y L=32. 

3.- valores iniciales de la escena, es decir: A=-2, B=0, C=-16, M=-2, N=0 y L=-8.  

4.-  A=0,  B=0,  C=-16,  M=-2,  N=0  y  L=-8.

5.-  A=0,  B=0,  C=-16,  M=-2,  N=0  y  L=-4.

6.- A=2, B=-2, C=-23, M=-4, N=-4 y L=3.

6.- A la vista de los resultados anteriores escribe un criterio que, comparando los valores de d, r+r´ y |r-r´|, sirva para estudiar la posición relativa de las circunferencias c y c´.
2. PRÁCTICA SEGUNDA
Dada una circunferencia c: (x-a)2+(y-b)2=r2 y una recta r: Ax+By+C=0, hallar la ecuación de las tangentes a c que son perpendiculares a  r. Hallar también los puntos de tangencia correspondientes.

La siguiente escena nos permite visualizar la solución y nos sugiere un método para llegar a ella si pulsamos el botón animar (0 para ocultar). 

Varía los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena y observa el resultado. 
1.-  Resuelve el problema para a=-1, b=1, r=5, A=4, B=-3 y C=-23.
Usa los pulsadores de colores que hay junto al zoom y junto a los ejes OX y OY para centrar la escena convenientemente.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

2.- Lo mismo que en el apartado anterior para a=-1, b=1, r=5, A=3, B=4 y C=12.

3.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (a=2, b=1, r=4, A=1, B=0 y C=1).

4.- En el apartado anterior varía los valores de A y B para obtener tangentes verticales y resuelve el problema.
3. PRÁCTICA TERCERA
Dados un punto P(x0,y0) y una circunferencia de ecuación (x-a)2+(y-b)2=r² hallar la ecuación de las tangentes a la circunferencia que pasan por P. Hallar los puntos de tangencia.

Varía los valores de los parámetros (o controles numéricos) de la escena y observa el resultado. 

La escena que viene a continuación da la solución y sugiere un método para llegar a ella si damos el valor 1 al control numérico ayuda (0 para ocultar). En el caso de que P sea exterior a la circunferencia, la ayuda nos invita a hallar los puntos de tangencia P y Q como intersección de  dicha circunferencia  y de la que tiene centro en M (punto medio de C y P) y diámetro el segmento CP. Cuando P está en la circunferencia la ayuda nos muestra la recta tangente en P como una recta que pasa por P y en la que el vector PC es perpendicular a ella.

1.- Resuelve el problema para los valores x0=6, y0=2, a=-1, b=1 y r=5.  Comprueba que el resultado coincide con el de la escena.

Para dar valores a los controles numéricos presiona los pulsadores rojo y azul de x0, y0, a, b o r o escribe el número en sus celdas blancas y pulsa la tecla Intro.

2.- Lo mismo que en el primer apartado para x0=2, y0=-3, a=-1, b=1 y r=5

3.- Elige unos valores de manera que el punto P esté dentro de la circunferencia. ¿Qué ocurre en este caso?.
4.- Adjudica valores a los controles numéricos para que P sea exterior a la circunferencia y las tangentes sean paralelas a los ejes.
4. PRÁCTICA CUARTA
Dado la recta r: Ax+By+C=0 y los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) hallar las ecuaciones de las circunferencias  que pasan por P y Q y son tangentes a r. Hallar también los puntos de tangencia.

La siguiente escena nos muestra la solución del problema y las correspondientes gráficas.

Una forma de resolver el problema es buscar el/los centro/s C(a,b) de manera que r=d(C,P)= d(C,Q)= d(C ,Ax+By+C=0). Sistema de ecuaciones con tres incógnitas cuya resolución es un poco larga.

La cantidad de cálculos que realiza el programa para resolver el problema hace necesario esperar cierto tiempo hasta que obtenga la solución.

1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores A=1, B=3, C=9, x1=1, y1=-2, x2=5, y2=2. Comprueba los resultados con los de la escena.  

Usa los pulsadores de colores que hay junto al zoom y junto a los ejes OX y OY para centrar la escena convenientemente.

2.- Resuelve el problema analíticamente para los valores A=0, B=1, C=4, x1=-2, y1=-1, x2=4, y2=-1. Comprueba los resultados con los de la escena.  

3. Busca unos valores de A, B, C, x1, y1, x2 e y2 de manera que los puntos P y Q estén a distinto lado de la recta Ax+By+C=0. ¿Qué ocurre en este caso?

 
       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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