En las páginas anteriores hemos visto de manera intuitiva el significado de límite de una función en un punto. Hemos analizado las distintas posibilidades que pueden presentarse y hemos empleado expresiones del tipo "acercarse a", "crecer indefinidamente", etc. Estas expresiones son un tanto vagas e imprecisas desde el punto de vista del rigor matemático.

Uno de los mayores logros de la Matemática de nuestro tiempo ha sido el fundamentar de manera precisa este concepto. Por ello en esta página vamos a intentar dar una definición rigurosa de límite en sus distintas variantes. Para ello partiremos de situaciones concretas sobre las que se irán planteando una serie de cuestiones y, a partir de las respuestas a esas cuestiones obtendremos las definiciones buscadas.

Como dijimos anteriormente, que este límite exista significa que cuando x "se acerca" al punto a, f(x) "se acerca" al punto b. La cuestión que se plantea inmediatamente es ¿qué entendemos por estar cerca? ¿a partir de qué momento se considera que dos números están cerca? Para cuantificar este acercamiento utilizaremos la siguiente notación:

|x-a| designa la distancia entre x y a.

|f(x)-b| designa la distancia entre f(x) y b.

Tradicionalmente suelen emplearse letras griegas minúsculas para designar distancias "pequeñas". En concreto suelen usarse las letras d (delta) para representar la distancia entre x y a y e (epsilon) para representar la distancia entre f(x) y b.

Del mismo modo suelen emplearse letras mayúsculas latinas intermedias (tales como, K, L, etc.) para representar números "muy grandes" en valor absoluto.

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

1.- A pesar de lo que parece en el dibujo, esta función no está definida cuando x=a. Sin embargo sí tiene límite cuando x tiende al punto a. Desplaza la x hasta el punto a y observa los valores de f(x) cuando x está muy próximo al punto. A partir de lo dicho en las páginas anteriores ¿cuánto crees tú que vale el límite de esta función cuando x tiende al punto a?

2.- Sitúa la x en el punto -1 y contesta a la siguiente pregunta: ¿Es necesario que x esté cerca de a para que f(x) esté cerca de b? ¿Contradice este resultado la idea de límite? ¿Por qué?

3.- Las líneas horizontales de color turquesa tienen como ecuaciones y=b+e e y =b-e por lo que todos los valores de f(x) contenidos en la banda limitada por esas dos rectas distan de b menos que e. Con el valor actual de e=1 averigua cuál es la distancia máxima partiendo de a, d, para la que se cumple que si |x-a|<d entonces |f(x)-b|<e con toda seguridad.

4.- Repite la operación anterior dando a e, sucesivamente los valores 0.5, 0.1 y 0.01. (En este último caso tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien).

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si b es el límite de f(x) cuando x tiende al punto a, se cumple que sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e.

Esta frase puede parecer enrevesada y difícil de comprender pero vamos a ver que en realidad significa lo mismo que la expresión "cuando x se acerca al punto a, f(x) se acerca al punto b". El problema radica en la expresión "acercarse" que evidentemente es arbitraria, pues una distancia puede representar cercanía en una determinada situación y la misma distancia puede representar lejanía en otra situación diferente. ¿Cómo solucionamos esta paradoja? Muy sencillo, se admite cualquier distancia como cercanía: decir "f(x) está cerca de b" equivale a decir "Sea e >0 cualquiera y |f(x)-b|<e ".

Ahora bien, ¿cuando queremos que f(x) se acerque a b? Pues cuando x se acerque al punto a. Considerar que x y a estén cerca o lejos dependerá de qué hayamos considerado como cercanía en la distancia entre f(x) y b. El número que determina esa cercanía es el número arbitrario e, por lo que para cada valor que asignemos a este número deberá existir otro, d, que determine la cercanía entre x y a.

Por lo tanto la frase "si la distancia entre x y a es menor que d, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e ". equivale a la frase "cuando x se acerca al punto a, f(x) se acerca al punto b".

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que b es el límite de la función f(x) cuando x tiende al punto a, cuando sea cual sea el valor del número positivo e, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e.

Simbólicamente esta definición se representa así:

que también suele ponerse de esta otra manera:

La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se acerca al punto a, f(x) va creciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan grande como se quiera sin más que hacer que x se acerque suficientemente al punto a.

De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "acercarse" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande? y ¿a qué distancia consideramos que dos números están cercanos?. Para responder a estas preguntas procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados.

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

1.- La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por encima de dicha recta son mayores que K. Con el valor actual de K=3 averigua cuál es la distancia máxima partiendo de a, d, para la que se cumple que si |x-a|<d entonces f(x)>K con toda seguridad.

2.- Repite la operación anterior dando a K, sucesivamente los valores 10, 50 y 100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende al punto a es infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es mayor que K.

En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se acerca al punto a, f(x) crece indefinidamente; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea grande, basta con que x se acerque al punto a suficientemente.

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende al punto a es más infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es mayor que K.

Simbólicamente esta definición se representa así:

que también suele ponerse de esta otra manera:

La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se acerca al punto a, f(x) va decreciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan pequeño como se quiera sin más que hacer que x se acerque suficientemente al punto a.

De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "acercarse" y "hacerse pequeño". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es pequeño? y ¿a qué distancia consideramos que dos números están cercanos?. Para responder a estas preguntas procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados.

Hechas estas precisiones fíjate en la imagen siguiente y manípulala lo que consideres oportuno para responder a las cuestiones que la acompañan.

1.- La línea horizontal de color turquesa tiene como ecuación y=K por lo que todos los valores de f(x) que estén por debajo de dicha recta son menores que K. Con el valor actual de K=-3 averigua cuál es la distancia máxima partiendo de a, d, para la que se cumple que si |x-a|<d entonces f(x)<K con toda seguridad.

2.- Repite la operación anterior dando a K, sucesivamente los valores -10, -50 y -100. (En estos últimos casos tendrás que ampliar bastante la escala para poder trabajar bien)

Si has conseguido hallar las respuestas a las preguntas anteriores te darás cuenta de que se puede obtener la siguiente conclusión: Si el límite de f(x) cuando x tiende al punto a es menos infinito, se cumple que sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es menor que K.

En otras palabras, estamos diciendo que cuando x se acerca al punto a, f(x) decrece indefinidamente; o dicho de otra forma: si queremos que f(x) sea pequeño, basta con que x se acerque al punto a suficientemente.

Esto nos lleva a la siguiente

Definición

Diremos que el límite de la función f(x) cuando x tiende al punto a es menos infinito, cuando sea cual sea el valor del número real K, es posible encontrar otro número positivo d, tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es menor que K.

Simbólicamente esta definición se representa así:

que también suele ponerse de esta otra manera: