Límites y Continuidad
Análisis
 

3. Comportamiento de una función en las proximidades de un punto: LÍMITES Y CONTINUIDAD
A)   FUNCIÓN RACIONAL CON RAMA INFINITA EN EL PUNTO
Vamos a estudiar el comportamiento de la función  en las proximidades de x=3
En esta escena está representada la función y un punto
P de la misma.
En la parte superior izquierda aparecen las coordenadas de P, que puedes cambiar usando el botón inferior de la escena.

Haz en tu cuaderno una tabla de valores ayudándote de la escena, de la forma siguiente:

 

1) Partiendo del inicio de la escena, pulsa el botón superior 0.y hasta que la posición de los ejes sea 0.y=60 

2) Ve dando a la flechita roja inferior de los valores de la abscisa x de P, y ve anotando en la tabla los valores de y del punto P para x=3.5, 3.4, 3.2, 3.1

3) Estarás viendo como los valores de x del punto P se van acercando a 3 por la derecha, a medida que, en la gráfica, dicho punto va apareciendo cada vez más cerca de x=3.

 4) Después de dar a x el valor 3.1, no pulses más la flechita, pues pasarías a 3. Si no sustituye en el lugar donde aparece el valor de x, en la parte inferior de la escena, el 3.1 por 3.01, pulsa ENTER y anota el valor de y correspondiente en tu tabla. El punto P ha desaparecido de la escena porque cae muy arriba, pero no tienes problema en anotar el valor de y, que aparece de color amarillo en la esquina superior izquierda.

5) Repite la operación del apartado anterior pero ahora introduce x=3.001. De esta forma nos hemos acercado a 3 por la derecha de 3


6) Ahora lo haremos por la izquierda. Pulsa el botón INICIO, y cambia la posición de los ejes a 0.y = -80
y cambia el valor de x a 2.5 tal como hicimos anteriormente, pulsa el botón LIMPIAR, y ve anotando el valor de y correspondiente.


7) De nuevo con la flechita de x, ve dando los valores x=2.6, 2.7, 2.8, 2.9; estarás viendo como los valores de x del punto P se van acercando a 3 por la izquierda, a medida que, en la gráfica, dicho punto va apareciendo cada vez más cerca de x=3. Introduce ahora los valores de x=2.99 y x=2.999 y  anota los valores de y en tu tabla.

 

Después de haber observado la gráfica, las trayectorias del punto P para valores de x mayores que 3, y los valores de y de tu tabla, podrás deducir que mientras más nos acercamos a x=3 por la derecha, los valores de y se hacen tan grande como queramos. Esto se expresa con símbolos así:

SIMBÓLICAMENTE

SE LEE

límite cuando x tiende a 3 por la derecha de  es infinito

Para valores menores que 3, o sea acercándonos por la izquierda, los valores que toma la función, nos indican que tiende a -

SIMBÓLICAMENTE

SE LEE

límite cuando x tiende a 3 por la izquierda de  es menos infinito

La función no está definida en x=3 y tiene un salto cuando x3. Evidentemente no es continua en x=3


B)  FUNCIÓN A TROZOS CON UN SALTO EN EL PUNTO
Vamos a estudiar el comportamiento de la función  en las proximidades de x=a

En el inicio de la escena es a=1. También tenemos un punto P de la función, cuya abscisa x podemos variar en los botones inferiores.

Para valores de x menores que a (izquierda de a), la gráfica es una recta que llega hasta el punto (a,2a), en el inicio (1,2), aunque este punto no pertenece a la función (hueco), ya que en la definición de la función f(x)=2x para x<a, pero no para x=a.  

Partiendo del inicio (a=1), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores -1, -0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75  observando en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 1 por la izquierda (x<1).

Para valores mayores que a (derecha de a), la gráfica es parte de una parábola que comienza en el punto (a,(a-3)2).  En el inicio este punto es (1,4), que ahora sí pertenece a la función, pues en la definición de la misma indica x a

Partiendo del inicio haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 2 (limpiar), 1.75, 1.5, 1.25, 1  observando en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P. Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 1 por la derecha (x>1)

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión suponiendo a=1

Por la izquierda de 1

Como no coinciden,  
no existe 

Por la derecha de 1

Por tanto al no coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, no existe el límite de la función cuando x 1, o en general cuando x a

Esta función no es continua en x=a porque no existe el límite .

Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.


C) FUNCIÓN RACIONAL QUE LE FALTA EL PUNTO
Vamos a estudiar el comportamiento de la función  en las proximidades de x=a
En el inicio de la escena es
a=2. También tenemos un punto P de la función, cuya abscisa x podemos variar en los botones inferiores.

Para valores de x menores que a (izquierda de a), la gráfica es una recta que llega hasta el punto (a,a), en el inicio (2,2), aunque este punto no pertenece a la función (hueco), ya que  para x=a, tendremos  .

Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 observando en la escena los valores de la función y hacia dónde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la izquierda (x<2)

Para valores mayores que a (derecha de a), la gráfica es una recta que comienza en el punto (a,a), en el inicio (2,2), que ya hemos dicho que no pertenece a la función (hueco), ya que para x=a, tendremos .

Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 3 (limpiar), 2.8, 2.6, 2.4, 2.2 observando en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la derecha (x>2).

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión suponiendo a=2

Por la izquierda de 2 Como coinciden, existe el 
Por la derecha de 2

Por tanto al coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, existe el límite de la función cuando x 2, o en general cuando x a

Esta función no es continua en x=a porque no está definida en x=a, ya que 
Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.


D) FUNCIÓN A TROZOS CON EL PUNTO DESPLAZADO
Vamos a estudiar el comportamiento de la función  en las proximidades de x=a
 
En el inicio de la escena es
a=2. También tenemos un punto P de la función, cuya abscisa x podemos variar en los botones inferiores.
 

Para valores de x menores que a (izquierda de a), y también para valores de x mayores que a (derecha de a), la gráfica es una parábola que se interrumpe en x=a (hueco). 

El punto que falta tendría de coordenadas (a,a2), en el inicio de la escena (2,4), pero para x=a  f(a)=2, según nos dice la definición de la función. 
Esto es, en vez de ser f(a)=a2, es f(a)=2. El punto (a,2) es de la función, en vez de (a,a2). Compruébalo dando el valor x=2 .

Partiendo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 1, 1.25, 1.5, 1.75 observando en la escena los valores de la función y hacia donde se dirige el punto P.
Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la izquierda (x<2).

Partiendo de nuevo del inicio (a=2), haz una tabla de valores en tu cuaderno dando a x los valores 3 (limpiar), 2.75, 2.5, 2.25 observando en la escena los valores de la función y hacia dónde se dirige el punto P.

Deduce a qué tiende la función (valores de y) cuando x tiende a 2 por la derecha (x>2).

Después de haber hecho el ejercicio tienes que llegar a la siguiente conclusión, suponiendo a=2:

Por la izquierda de 2 Como coinciden, existe el 
Por la derecha de 2

Por tanto al coincidir el límite por la derecha y por la izquierda, existe el límite de la función cuando x 2, y este límite es 4. En general existe el límite cuando x a y es f(a).

La función está definida en x=2 pero f(2)=2, no coincide con el límite. En general la función está definida en x=a pero f(a) .Por tanto la función no es continua en x=a

Comprueba en la escena anterior que ocurre lo mismo para otros valores de a.


4.- Relación de la continuidad  en a con el límite cuando x a                                                                                                                  

Si observas las cuatro funciones anteriores, discontinuas en x=a, deducimos que para que una función sea continua en un punto debe cumplirse lo siguiente:

f es continua en x=a si:

Tiene límite finito cuando xa existe y es un número
Está definida en x=a f(a) existe
El límite coincide con el valor de la función en a =f(a)

       
           
  Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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