Límite de sucesiones: definición
Ejemplos de sucesiones sin valor límite
Límite de sucesiones: propuesta de trabajo
Propuesta de trabajo.
Se trata de hallar el límite de la sucesión.
Si presentamos en la escena una visión general disminuyendo el
zoom, veremos que los puntos se acercan al eje horizontal que representa el
valor 0.
Por lo tanto parece que el límite es cero. Para comprobarlo vamos a
aplicar la definición.
Tenemos que comprobar que la distancia al valor límite se hace tan
pequeña como queramos.
Por ejemplo menor que épsilon=0.1
¿Cual es el valor de n a partir del cual ocurre que: an-j<0.1 ? Como j=0 se cumplirá que an<0.1
Puedes verlo porque los valores de n aparecen debajo del eje
horizontal.
Puedes mover los ejes con el control Ox para avanzar en la sucesión
hacia la derecha.
Fíjate en el valor que aparece a la derecha del segmento azul, épsilon
es la distancia al eje horizontal.
Podemos entonces decir a partir
de qué valor de n todos los puntos están a distancia menor que épsilon
del eje horizontal que representa el valor del límite, es decir 0.
En este caso puedes comprobar
que ocurre a partir de n=10.
Comprueba ahora (utilizando los
controles de la escena) que eligiendo otros valores de épsilon, por ejemplo:
0.2 y 0.05, podemos encontrar el valor
de n a partir del cual la distancia entre los términos de la sucesión y el
valor límite es menor que los propuestos.
Cambiamos la
sucesión: (n+1)/n y vamos a buscar su límite.
Ahora en la escena tienes dos rectas, una de color azul
como en el caso anterior y otra de color naranja. La de color naranja se
corresponde con el eje Ox de la escena anterior, debe representar el valor
límite de la sucesión.
Todos los puntos se deben aproximar a ella de forma que
cada vez estén más cerca.
Como los puntos van bajando (sucesión decreciente), debes
colocar la recta naranja de forma que todos los puntos de la sucesión queden
por encima de ella.
Para moverla cambia el valor del control r.
Si no colocamos bien la recta naranja llegará un momento en
que la distancia de los términos de la sucesión hasta la recta no pueda hacerse
más pequeña que el valor escogido.
Si esto ocurre significa que no es el límite y debemos
aproximar más la recta.
Después colocas la recta azul por encima y buscas como en
el ejercicio anterior el valor de n a partir del cual todos los puntos quedan
entre las dos rectas. El valor épsilon en este caso es la distancia entre las
dos rectas.
Halla el valor de n a partir del cual la distancia entre
los términos de la sucesión y la recta naranja es menor que:
épsilon=0.1 y épsilon=0.05.
Verás que ahora los puntos estarán cada vez más cerca de la
recta naranja que representa el valor 1 y por lo tanto ése será el límite de
(n+1)/n.
Es decir : lim (n+1)/n =1
Límite de sucesiones: definición
Ejemplos de sucesiones sin valor límite
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