Lembremos que o método de interpolación de Newton é un método recurrente, no sentido que para calcular o polinomio interpolador, P_n(x), de n+1 puntos  (x_i,y_i) _{[i=0,1,...,n]} engádelle un sumando ao polinomio P_n-1(x) que pasa polos primeiros n puntos (x_i,y_i) _{[i=0,1,...,n-1]}.

Así  P_n(x)= P_n-1(x) + a_n·(x-x₀)·(x-x₁)· ... ·(x-x_n-1). O máis coplicado do método, pola cantidade de operacións, é o cálculo dos coeficientes a_i ; a_n = [ y_n-P_n-1(x_n)]/[(x_n-x₀)·(x_n-x₁)· ... ·(x_n-x_n-1)].

Moitas veces os valores das primeiras coordenadas dos datos (x_i) están igualmenmte separados [equidistantes], é dicir: existe unha diferencia ou nivel de elevación h tal que:

 x_i = x_i-1+h, e neste caso podemos obter os coeficientes a_i máis axiña e facilmente.

Utilizaremos o concepto de diferencias sucesivas: As diferencias dos valores y_i  serán as primeiras diferencias: Dy_i= y_i+1-y_{i   con [i=0,1,2,...,n]}  (segundo aumentemos o grao haberá unha menos) e serán as segundas  diferencias D²y_i = D(Dy_i) = Dy_i+1 - Dy_{i   con [i=0,1,...,n-1]} ; terceiras  diferencias D³y_i = D(D²y_i) = D²y_i+1 - D²y_{i   con [i=0,1,...,n-2]}.

Da mesma forma podemos continuar ata a diferencia de orde n: Dⁿy₀₌ D^n-1y_{1 -} D^n-1y₀.

Pódese deducir, desenrolando as diferencias que:  a_i=Dⁱy₀/[hⁱ·i!], onde Dⁱy₀ son os valores da primeira fila da táboa:

1.- Calcula o polinomio de interpolación de Newton de grao 3 para os puntos (1,3) ; (2,0) ; (3,2) ; (4,6) e (5,3). Podes comprobar a solución coa escena.

2.- Sabendo que a suma dos cadrados dos n primeiros números naturais é un polinomio en n de certo grao (P(n)=S i² _{[con i=1,..n]}), calcula dita expresión. (para resolver o problema podes calcular o polinomio interpolador para os puntos (1,P(1))=(1,1) ; (2,P(2))=(2,5) ; (3,P(3))=(3,14) ; (4,P(4))=(4,30) ; (5,P(5))=(5,55).

3.- Contesta no caderno: A poboación de Ferrol no ano 1995 (ano=-5) era de 88000 habitantes (nº hab = 8.8 dezmiles) no 2000 (ano=0) 87800 habitantes (nº hab.=8,78 dezmiles) e no ano 2005 (ano=5) había 88200 habitantes (nº hab.=8,82 dezmiles). Calcula o polinomio de interpolación polo método de Newton ¿Cantos habitantes habería en 1997? e en 2015?.