Integral de Riemann

AREAS DE LAS FUNCIONES CON EL EJE OX . 1.-
La cuestión a estudiar es como se calcula el área de un recinto determinado entre una función y un intervalo dado [a,b] del eje OX. La función que hemos escogido (podría ser otra cualquiera) es .Como puedes ver en esta escena, el valor del área ya está calculado.
	1.- Modifica con el ratón los valores de a y b y observa los diferentes valores que toma el área .
¿Como se calcula ? El fundamento de este calculo está en la división del recinto en numerosos recintos de forma rectangular que tengan como base una división del intervalo [a,b] y como altura el valor de la función en uno de los extremos.



		2.- Da valores a v para hacer diferentes divisiones de [a,b]. En esta escena puedes ver el resultado de la suma de los rectángulos que aparecen en el dibujo. Fíjate que todos ellos tienen la altura como el valor de la función en el extremo de la base que introduce el rectángulo debajo de la función, luego el valor del área del rectángulo será (b-a)/v ·f(x) siendo x este extremo. El valor (b-a)/v es el incremento de la variable y se puede escribir también ∆x.
3.- Fija ahora un intervalo [a,b] concreto, el que quieras, por ejemplo el inicial, [-2,1] , y observa el valor obtenido para el área en la primera escena, 8.58 (para este intervalo)

Fija también [-2,1] en la segunda escena y, a continuación ves dando valores a v . Fíjate que cada vez el valor obtenido es más similar al real del área, pero inferior. Lógico puesto que las áreas de los triángulos de color amarillo, que quedan por encima de los rectángulos, son la diferencia con el valor real.

El resultado es el área con aproximación por defecto

4.- Haz ahora lo mismo en la tercera escena. Los rectángulos están ahora encima de la función y el área que resulta es superior a la real. Como en la escena anterior, como más grande sea el valor de v , más elementos tiene la partición de [a,b] y hay más rectángulos; luego la suma total cada vez se parece más a la real, pero esta vez con un valor por encima del valor real, puesto que los triángulos, sobrantes ahora, están por encima de la función.

Se trata del área con aproximación por exceso

Como és lógico, el valor del área se obtiene al efectuar una partición infinita en en intervalo [a,b], El área real es, pues, un valor límite y las dos sucesiones de rectángulos convergen en un mismo valor.
El operador asociado a la suma de infinitas áreas de rectángulos es el llamado integral definida en el intervalo [a,b] y se escribe así :

RECAPITULEMOS

1.- ¿Qué es hacer una partición de un intervalo [a,b]

2.- ¿Qué es la aproximación por exceso y por defecto del área de una función con el eje Ox?

3.- ¿Porqué el valor real del área se obtiene mediante un resultado límite ?

4.- ¿Qué notación matemática implica el cálculo del área de una función g(x) con el eje Ox en el intervalo [1,5] ?

	Domingo Ubach Batallé

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte 2009

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	4.- Haz ahora lo mismo en la tercera escena. Los rectángulos están ahora encima de la función y el área que resulta es superior a la real. Como en la escena anterior, como más grande sea el valor de v , más elementos tiene la partición de [a,b] y hay más rectángulos; luego la suma total cada vez se parece más a la real, pero esta vez con un valor por encima del valor real, puesto que los triángulos, sobrantes ahora, están por encima de la función. Se trata del área con aproximación por exceso
Como és lógico, el valor del área se obtiene al efectuar una partición infinita en en intervalo [a,b], El área real es, pues, un valor límite y las dos sucesiones de rectángulos convergen en un mismo valor. El operador asociado a la suma de infinitas áreas de rectángulos es el llamado integral definida en el intervalo [a,b] y se escribe así : RECAPITULEMOS 1.- ¿Qué es hacer una partición de un intervalo [a,b] 2.- ¿Qué es la aproximación por exceso y por defecto del área de una función con el eje Ox? 3.- ¿Porqué el valor real del área se obtiene mediante un resultado límite ? 4.- ¿Qué notación matemática implica el cálculo del área de una función g(x) con el eje Ox en el intervalo [1,5] ?