Aquí tenemos un triángulo, sus bisectrices interiores y los elementos que hemos tratado.

En realidad, hay más elementos, pues también están los puntos de corte de las bisectrices interiores con los lados del triángulo. La propuesta es obvia, ¿cómo calcular las coordenadas de dichos puntos?

Desvelemos un poco el misterio. El punto de corte de la bisectriz interior del ángulo A con el lado BC viene dado por y dejemos que la intuición revele los otros.

De nuevo, teniendo de guía la “Demostración 3”, es fácil de ver que esto es correcto.

La bisectriz exterior de A corta a la prolongación del lado BC. ¿Qué fórmula nos dará las coordenadas de ese punto de corte? ¿Es cierto que siempre lo corta? Si la fórmula escrita es la correcta, observándola, se verá que la respuesta a esta pregunta es NO. Cuando la bisectriz exterior de A no corta a la prolongación del lado BC, ¿cómo son los lados b y c?, ¿qué tipo de triángulo es?

En esta otra escena sólo se encuentra la circunferencia inscrita y los puntos de tangencia Ta, Tb, Tc, con los lados.

¿Cuáles serán las coordenadas de dichos puntos? ¿Qué propiedad se observa al unir dichos puntos con su vértice opuesto? No habrá pista para estas cuestiones, se deja a la imaginación de cada uno o a la investigación/búsqueda en otros lugares.

¿Pasará algo parecido con los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas?