A8.-En esta escena aparecen un plano π determinado por un punto A y un vector característico n, y un punto P. ¿Cuál es la distancia de P al plano π?

Paso 0: Elige el plano y el punto P modificando los valores de la parte superior de la escena.

Paso 1: Aparecen dos vectores direccionales del plano para fijar un punto del plano R. Esto se consigue cambiando los valores de u y v. Aparecen en pantalla también las coordenadas del punto R.

Paso 2: Aparece el segmento PR y su medida.

Paso 3: Aparece el segmento PQ siendo Q el pie de la perpendicular

Se puede cambiar el tamaño del plano para que los puntos Q y R se "vean" en el plano.

Observa que, de las distancias de P a un punto R del plano, la menor se encuentra cuando R es el pie de la perpendicular desde P al plano (R=Q).

A9.-Con la siguiente escena vamos a obtener una fórmula para hallar la distancia desde un punto P a un plano.

Paso 0: El plano está determinado por un punto A y dos vectores direccionales v y v'.

Paso 1: Aparece el vector AP

Paso 2: Se construye el paralelepípedo determinado por los vectores AP, v y v'.

El volumen del paralelepípedo se puede calcular de dos formas:

   1) Volumen=|[AP,v,v']|.

   2) Volumen=Área_de_la_base·Altura.

Paso 3: La altura h del paralelepípedo es d(P,π).

El área de la base es |v×v'|.

Con lo cual: |[AP,v,v']|=|v×v'|·d(P,π).

Sea v×v'=n, un vector característico del plano. Entonces,

|[AP,v,v']|=|n|·d(P,π)

|[AP,v,v']|=|AP·(v×v')|=|AP·n|. Luego |AP·n|=|n|·d(P,π)

De donde:

¡Y esta expresión permite calcular la distancia sin conocer el pie de la perpendicular!