Sea (π,π') el ángulo que forman los planos π y π'. Al elegir los dos vectores característicos, n y n', no sabemos, a priori, si elegimos los que forman el ángulo que buscamos o el suplementario. Pero su producto escalar puede ser positivo (forman un ángulo entre sí menor que π/2), negativo (ángulo entre π/2 y π) o nulo (perpendiculares). Con lo cual:

Si y son los dos planos, entonces

En particular (y con n y n' no nulos porque sino no dan una dirección):

• π y π' son perpendiculares n·n'=0

• π y π' son paralelos n y n' son proporcionales.

A15.-Los planos representados son:

Busca un punto común y vectores característicos de cada plano. Usa estos datos en la escena para situar los vectores.

¿Qué ángulo forman los planos? (Si tu respuesta anterior es correcta verás la solución en la escena)

Comprueba que el ángulo es el mismo eligiendo otros vectores característicos de cada plano. Observa también que para hallar el ángulo sólo se necesitan los vectores, no se necesitan puntos.

E10.-¿Cuántos planos son paralelos a x+y−z=0? Escribe la ecuación general de uno de ellos. ¿Cuántos planos son perpendiculares a x+2y−z=−1? Escribe la ecuación de uno de ellos.