FUNCIONES RACIONALES
 Función de proporcionalidad inversa
Análisis.
 
La función de proporcionalidad inversa

Ejemplo. Queremos llenar una piscina de 750 m3 de capacidad, y para ello disponemos de entradas de agua que nos proporcionan caudales variables. Confeccionamos una tabla que relacione el tiempo de llenado (t, en horas), con el caudal disponible (C, en m3/hora), y la expresamos a continuación:

 

caudal (m3/h.)62,568,187583,393,75107,14125150187,5250375750
tiempo (h.)121110987654321

Expresemos lo anterior del siguiente modo:

caudal  x tiempo
(m3/h.)           (h.)		 = capacidad (m3)
  • Observando las columnas de la izquierda vemos que el producto del caudal de agua que suministran las tuberías y del tiempo de llenado, es constante, e igual a la capacidad total de la piscina, 750 m3, de manera que cuando disminuye el caudal aumenta el tiempo empleado en llenar la piscina, y viceversa, si queremos emplear menos tiempo en llenar la piscina, hemos de proporcionar un mayor caudal.
  • Diremos entonces que ambas magnitudes son inversamente proporcionales.
  • Si llamamos al caudal "X", y al tiempo "Y", podremos resumir lo anterior utilizando la expresión algebraica:
  src=,  o expresando la variable "Y" en función de "X",   src=
(siendo K distinto de 0),
  • Teniendo en cuenta que la constante K representa en nuestro caso la capacidad de la piscina, y que es K = 750, podemos poner
  src= , o también   src=


62,5 x 12 750
68,18 x 11750
75 x 10750
83,3 x 9750
93,75 x 8750
107,14 x 7750
125 x 6750
.......
375 x 2750
750 x 1750

Representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa en el primer cuadrante
 

1.- Observa el comportamiento de la gráfica cuando aumentamos el valor de la variable independiente "X".

¿A qué valor se aproxima "Y" si "X" es sufientemente grande?

2.- ¿Que sucede cuando la variable independiente "X" se aproxima al valor 0?.

  • El eje de abscisas y el de ordenadas son la asíntota horizontal y vertical respectivamente de la función de proporcionalidad inversa. 
  • Son las rectas de  ecuación: Y = 0 y X = 0 

Representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa  para cualquier valor de K 
    
  • La gráfica representada en la escena de la izquierda se denomina hipérbola equilátera.
  • Se obtiene cuando damos valores tanto negativos como positivos a la variable independiente "X", y utilizamos estos valores para el cálculo de "Y" mediante la expresión src=.
  • K puede ser cualquier valor real distinto de 0
  • "X" puede tomar cualquier valor real distinto de 0
1.- Cambia los valores de K y observa la gráfica cuando es negativo.

¿ Observas algún tipo de simetría?

Este tipo de funciones ¿son pares o impares? justifícalo hallando la expresión de f(-x) y comprueba que se cumple f(-x) = -f(x)
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  Miguel Ángel Diez Sahagún
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009
 
 

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