P1 Graficación por parámetros: f(x) = a(x - b)2 + c

Con la ayuda de DESCARTES, podemos graficar funciones expresadas en términos de parámetros. En nuestro caso, iniciamos con funciones cuadráticas  de la forma f(x) = a(x - b)2 + c, en las que la variación de los parámetros a, b y  c permite explorar el comportamiento de la representación gráfica, tomando como referencia a la función y = x2.

En las siguientes actividades exploratorias, utilizaremos el Applet DESCARTES para conocer el efecto de la variación de los parámetros a, b, c y d sobre la gráfica de la parábola   f(x) = a(x - b)2 + c.

P1.1  Variación del parámetro a

En la escena que se presenta a continuación, se muestra la gráfica de f (x) = a(x-b)2 + c  con los valores a = 1, b = c = 0 . 

En pantalla pueden manipularse los valores de los parámetros a, b y c y observar cómo se refleja esta variación sobre la parábola de referencia. En esta primera actividad, mantrendremos fijos los valores de b y c,  y variaremos los valores de  a.

  1. ¿Cuál es la ecuación de la parábola en pantalla?

  2. Asigne el valor a = 2 y escriba la ecuación de esta parábola. Observe el cambio en la gráfica.

  3. Asigne el valor a =  1/3 y escriba la ecuación de esta parábola. Observe el cambio en la gráfica.

  4. Asigne el valor a = -2 y escriba la ecuación de esta parábola. Observe el cambio en la gráfica.

  5. Asigne el valor a = -1/3 y escriba la ecuación de esta parábola. Observe el cambio en la gráfica.

  6. Explore libremente, modificando el valor de  a y observe los cambios en la gráfica

  7. ¿Qué sucede con la gráfica de referencia  cuando
     0 < a < 1 ?

  8. ¿Qué sucede con la gráfica de referencia  cuando
      a > 1 ?

  9. ¿Qué sucede con la gráfica de referencia  cuando 
    a     < 0 ?

Variación del parámetro b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1.2  Variación del parámetro b

En la siguiente escena , se muestra de nuevo la gráfica de f (x) = a(x-b)2 + c . En esta ocasión, mantendremos fijos los valores de a = 1 y c = 0, y observaremos sobre la gráfica el efecto de variar b.

  1. Asigne el valor b = 0

  2. Escriba la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice. Observe la tabla correspondiente en la esquina inferior derecha.

  3. Considere la parábola del punto 2 como la de referencia.

  4. Ahora, asigne el valor b = 1

  5. Escriba la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice. Observe la tabla correspondiente en la esquina inferior derecha.

  6. Alterne los valores b = 0 , b = 1, para observar el comportamiento en la columna derecha de cada tabla. ¿Qué se observa?

  7. ¿Cómo es la gráfica obtenida en 4, respecto a la parábola de referencia obtenida en 2?

  8. Repita la secuencia de 4 a 7 para los siguientes valores de b, escribiendo en cada caso la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice.
    b = 2, b = -3, b =-2  y  b = 5/2

  9. Explore libremente, modificando el valor de b. Observe la segunda columna en cada tabulación e interprételo geométricamente.

  10. ¿Qué sucede con respecto a la gráfica de referencia cuando b > 0?. ¿Y cuándo b < 0?

Variación del parámetro c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1.3  Variación del parámetro c

En la siguiente escena , se muestra de nuevo la gráfica de f (x) = a(x-b)2 + c . En esta ocasión, mantendremos fijos los valores de a = 1 y b = 0, y observaremos sobre la gráfica el efecto de variar c.

  1. Asigne el valor c = 0

  2. Escriba la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice. Observe la tabla correspondiente en la esquina inferior derecha.

  3. Considere la parábola del punto 2 como la de referencia.

  4. Ahora, asigne el valor c = 1

  5. Escriba la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice. Observe la tabla correspondiente en la esquina inferior derecha.

  6. Alterne los valores c = 0 , c = 1, para observar el comportamiento en la columna derecha de cada tabla. ¿Qué se observa?

  7. ¿Cómo es la gráfica obtenida en 4, respecto a la parábola de referencia obtenida en 2?

  8. Repita la secuencia de 4 a 7 para los siguientes valores de c, escribiendo en cada caso la ecuación de la parábola y las coordenadas del vértice:
    c = 3, c = -3, c =-2  y  c = 3/2

  9. Explore libremente, modificando el valor de c. Observe la segunda columna en cada tabulación e interprételo geométricamente.

  10. ¿Qué sucede con respecto a  la gráfica de referencia cuando c > 0?. ¿Y cuándo c < 0?

  11. Explore libremente, modificando los parámetros a, b, c, y observe en cada caso la relación entre  las coordenadas del vértice y el valor de los parámetros.

  12. Diga cuales son, en general, las coordenadas del vértice de la parábola   f (x) = a(x-b)2 + c 

Reconocimiento visual de algunas funciones cuadráticas

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